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本文基于小变形的精确线弹性理论,不引入任何人为假设,研究了变厚度梁板结构的弹性静力学特性。首先,对于简支边界条件,利用傅立叶级数展开法,分别给出了任意载荷作用下两端简支变厚度梁的二维弹性力学解和四边简支变厚度矩形板的三维弹性力学解。其次,对于非简支边界条件,以固支边为例,通过引入单位脉冲函数,采用边界松弛法,给出了一端固支一端简支变厚度梁的弹性力学解。最后,将这种方法推广应用,研究了在热荷载与机械荷载共同作用下各向同性材料、正交各向异性材料、功能梯度材料、压电材料变厚度梁和变厚度矩形板的弯曲问题。具体的说,本文的主要内容包括：(1)对于两端简支变厚度梁,从二维平面弹性力学的基本方程出发,导出满足控制微分方程和两端简支边界条件的位移函数一般解,对梁上下表面的边界方程作傅立叶级数展开确定待定系数。(2)对于四边简支变厚度矩形板,从三维弹性力学的基本方程出发,导出满足控制微分方程和四边简支边界条件的位移函数一般解,对板上下表面的边界方程作双重傅立叶正弦级数展开确定待定系数。(3)对于一端固支一端简支变厚度梁,引入单位脉冲函数和Dirac函数,将固支边等价为简支边加上水平方向的未知边界力,求得其精确解析解,对梁上下表面的边界方程作傅立叶级数展开并与固支边位移为零的条件共同确定未知系数。(4)对于功能梯度材料,假设弹性模量沿厚度方向指数变化,泊松比为常数,首先求得简支边界条件下控制微分方程的解析解,然后对结构上下表面的边界方程作傅立叶级数展开,分析了两端简支变厚度功能梯度梁和四边简支变厚度功能梯度矩形板的弯曲问题。(5)对于压电材料,首先求解简支边界条件下精确满足控制微分方程的结构位移场和压电场,然后对结构上下表面的边界方程作傅立叶级数展开,分析了两端简支变厚度压电梁和横观各向同性四边简支变厚度压电矩形板的弯曲问题。(6)对于受温度作用的两端简支变厚度梁和四边简支变厚度板,首先根据温度的边界条件,采用傅立叶正弦级数展开求解梁和板内的温度分布,然后再将温度荷载施加于梁和板上,给出了机械荷载与热荷载共同作用下变厚度梁的二维热弹性力学解和变厚度矩形板的三维热弹性力学解。(7)对于多跨的板结构,首先求得满足控制微分方程和四边简支边界条件的矩形板位移函数的一般解,将支承反力看作是作用于板上的待求反力,利用板上下表面的边界方程确定待定系数。给出了点支、线支和弹性地基上简支矩形板以及面内受线支作用的功能梯度矩形板的三维弹性力学解。