【摘 要】
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本文研究了基于Q-张量框架的可压缩活性液晶模型的流体动力学问题.在全空间或者圆环上,我们证明了模型的大初值经典解的局部存在性.并且,在一定的系数假设下,我们给出了在常数态附近圆环上小初值经典解的整体存在性.全文共分为五章,内容结构安排如下:在第一章中,我们首先对可压缩活性液晶模型及其研究现状进行了介绍,其次对一些符号进行了规定和说明,最后简要阐述了主要研究成果与思路方法。在第二章中,我们首先对方程
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本文研究了基于Q-张量框架的可压缩活性液晶模型的流体动力学问题.在全空间或者圆环上,我们证明了模型的大初值经典解的局部存在性.并且,在一定的系数假设下,我们给出了在常数态附近圆环上小初值经典解的整体存在性.全文共分为五章,内容结构安排如下:在第一章中,我们首先对可压缩活性液晶模型及其研究现状进行了介绍,其次对一些符号进行了规定和说明,最后简要阐述了主要研究成果与思路方法。在第二章中,我们首先对方程组进行L2估计,其次进行高阶估计,最后综合二者得到先验估计.本章中主要存在两个困难,一是证明密度ρ（t,x）是L∞-有界,这可以利用质量守恒定律来解决;二是控制最高阶导数项?xαdivΔQ,这里我们使用了抵消关系,避免了对最高阶导数项的直接估计.在第三章中,我们首先使用迭代法来构建逼近方程组,其中u和Q逼近方程的构造,要便于使用第二章提及的抵消关系.其次我们证明了逼近方程组可解.最后对逼近方程组进行能量估计.在第四章中,我们首先证明了逼近解序列有一致存在性时间下界.其次结合逼近方程组的能量估计,得到模型经典解的局部存在性.在最后一章中,我们证明了T3上常数态（c*,1,0,0）附近经典解（c,ρ,u,Q）的整体存在性.目前我们还不能证明活性液晶模型在全空间上经典解的整体存在性,困难之处在于线性项c*Q的处理.在进行先验估计时,用Q和方程组（1.2）中的Q-方程相乘得到的耗散项中,没有关于Q的L2耗散项,因此在考虑整体解时无法控制线性项＜c*Q,Q＞.当在常数态（c*,1,0,0）附近考虑整体解时,虽然困难依然存在,但是转化为处理σ*c*2＜divQ,u＞项.并且定义域为T3时,假设系数满足Cσ*2c*4/2μ≤KΓ/2,就可以解决σ*c*2＜divQ,u＞项.另一方面,结合与第二章类似的估计,并补充一些耗散项,可以得到整体能量估计.最后证明存在性时间T*=+∞,得到圆环上常数态附近整体解存在性.
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