由于受到金融风险与保险领域实际应用的需求所推动。山大教授,同时也是中科院院士的彭实戈先生创造性地提出了次线性期望的概念,并给出了次线性期望理论完整的公理体系。该体系很好地弥补了经典概率空间及其理论在金融领域应用的不足。经过多年的发展,次线性期望理论已经被大多数概率学者所接受；并受到越来越多其他领域中的专家的注意。次线性期望理论也被越加宽广且深入地研究着。大偏差理论是高等概率论中一个非常重要的分支,其主要目的是对指数型概率不等式进行刻画,大偏差理论所计算出的精确度要高于大数定律。随着近几十年的发展,大偏差理论已经成为概率论领域的一个非常热门的研究方向。收敛性可以是概率极限最忠诚的朋友,如果离开了收敛性对于概率极限的研究也就失去了意义。不同的收敛性刻画了概率极限所具有的不同性质,是概率论当中特别是概率极限理论中极为重要的理论工具。收敛性在次线性空间理论中也是非常重要的一个工具。概率不等式在概率论中同样是一个非常关键的角色,它的重要性在某些情况下甚至超过了概率等式。在证明研究中正确地应用概率不等式,可以更加便捷地得到我们需要的结果。在本论文中,我们将所对概率极限理论(大偏差理论,独立随机变量序列的收敛性两个探究方向)；以及概率不等式等问题进行次线性期望下的探究与证明。在次线性期望下的概率极限理论部分给出了大偏差理论中的"Varadhan积分引理”和"Bryc的逆Varadhan积分引理”在次线性期望空间下的推广；除此之外,还在第五章中给出了次线性期望下的一致可积性的定义,并证明了一致可积性的判定定理；在第二节中给出了次线性期望下的三种收敛性(拟必然收敛,依容度收敛,平均收敛),并给出了平均收敛与一致可积以及依容度收敛之间的判定定理的证明。在次线性期望下的概率不等式方面,即本论文的第3章中,我们给出了2个涉及到级数的概率不等式在次线性期望下的证明。