【摘 要】
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本学位论文主要研究以下两类带磁场的二阶椭圆方程:磁Schr（?）dinger方程和临界磁Choquard方程,并利用变分方法得到了解的存在性,多解性和集中现象在第一章,介绍带磁场的椭圆方程的物理背景及国内外研究现状,给出本文所需的预备知识以及主要结果介绍.在第二章,研究在Neumann边界条件下磁Schr（?）dinger方程#12解的存在性,其中Ω是RN中有界的C1区域,v是（?）Ω上的单位外法
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本学位论文主要研究以下两类带磁场的二阶椭圆方程:磁Schr（?）dinger方程和临界磁Choquard方程,并利用变分方法得到了解的存在性,多解性和集中现象在第一章,介绍带磁场的椭圆方程的物理背景及国内外研究现状,给出本文所需的预备知识以及主要结果介绍.在第二章,研究在Neumann边界条件下磁Schr（?）dinger方程#12解的存在性,其中Ω是RN中有界的C1区域,v是（?）Ω上的单位外法向向量场,A∈C∞（Ω,RN）是磁位势,λ是一个实参数,N≥3,2≤p≤2*,其中2*=2N/（N-2）是临界Sobolev指数.对于该问题,我们利用变分法得到了解的存在性.在第三章,我们研究临界磁Choquard方程#12解的存在性,多解性和集中现象.其中ε＞0是一个小参数,N≥3,0＜μ＜N,2μ*=（2N-μ）/（N-2）是Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的临界指数,电势V（x）∈C（RN,R）,磁位势A（x）∈C（RN,RN）,f（t）:R+→R是满足次临界增长条件的非线性项,函数F是f的原函数.当电势V（x）和非线性项f（t）满足适当的条件时,我们利用变分方法,惩罚理论和Ljusternik-Schnirelmann理论得到了方程解的存在性,多解性和集中现象.在第四章,我们研究分数阶临界磁Choquard方程#12解的存在性,多解性和集中现象.其中ε＞0是一个小参数,s∈（0,1）,N≥3,0＜μ＜N,2（μ,s）*=（2N-μ）/（N-2s）是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式和分数阶 Laplace算子意义下的临界指数.对任意的μ∈Cc∞（RN,C）磁分数阶Laplace算子（-Δ）（A/ε）su定义为#12在电势V（x）,磁位势A（x）,非线性项f（t）与第三章中相似的假设条件下,我们应用同样的方法讨论了方程解的存在性,多解性和集中现象.
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