偏微分方程理论在生活的诸多领域中都有涉及,尤其是在数学、化学、物理学等方面应用显著.分数阶Laplace方程作为偏微分方程的重要分支,在数学、力学、生物医学工程、金融等方面发挥着重要作用.本文主要探究如下分数阶Laplace方程（?）,0<σ<2,x ∈ B2,其中B2表示的是以原点为球心,以2为半径的开球.文章旨在证明当1≤ σ<2时,分数阶Laplace方程的解在B2上的W1,p内估计.应用Wang的几何方法给出证明过程.根据分数阶Laplace方程解的W1,2估计,结合修改的Vitali覆盖引理、极大函数的相关理论得到分数阶Laplace方程的解的W1,p内估计.本文的章节安排如下:第1章,概述分数阶Laplace方程的研究背景与现状,提出本文的工作是将Wang的几何方法推广到证明分数阶Laplace方程解的W1,p内估计..第2章,首先介绍Calderón-Zygmund估计的内容,分析其证明过程.其次,给出分数阶Laplace算子的定义,对几种不同定义的等价性进行了阐述,引进必要的函数空间、极大函数、A2权的定义.最后,列出了后文证明所需的基本引理及不等式.第3章,考虑1 ≤ σ<2时,分数阶Laplace方程的W1,p内估计.首先,由（一△）（?）的基本解推出方程解的W1,2估计.其次,在方程的W1,2估计已知的基础上,根据极大函数、修改的Vitali覆盖引理证明方程的解在B2上的W1,p内估计.