分数阶量子力学是量子力学的推广,在非相对论情形由空间分数阶薛定谔方程所描述,方程中包含分数阶Riesz导数算子。大多数微观粒子是在一个有限空间中运动,因此局域势场问题是量子力学中的基本问题。由于Riesz分数阶算子的非局部性,求解局域势场下的分数阶薛定谔方程十分困难,这限制了当前分数阶量子力学的发展。本文针对基本类型的局域势场,从分数阶薛定谔方程建立的本源出发,给出了利用Lévy路径积分求解局域势场下分数阶薛定谔方程的方法,主要工作有:1.建立了在圆环上运动的粒子和无限深方势阱中的粒子的Lévy路径积分及相应的传播子,利用Lévy路径积分与分数阶薛定谔方程的解之间的关系,求出了在圆环上以及无限深方势阱中自由粒子的波函数和能量值,并给出了在圆环上运动的自由粒子传播子的Laplace变换、能量-时间变换以及动量表示。2.对于无限深方势阱的情形,考虑势场局域性,我们通过对原始Lévy路径积分传播子进行周期延拓,重新建立了空间分数阶薛定谔方程,并利用此分数阶薛定谔方程求解了它的波函数和能量值。我们得到的新方程克服了原分数阶薛定谔方程不适用于局域势场的问题,所用的方法给局域势场下的分数阶量子力学研究提供了新的思路。