发展方程(Evolution Equation)又称为进化方程或演化方程，它是用以描述随时间变化的过程的一类重要的偏微分方程（或方程组）的总称.发展方程是数学与自然科学的诸多领域间的桥梁，它反应了某些物理量对于空间变量变化和时间变化之间的一种制约关系.发展方程不仅便于人们认识自然现象的基本规律，同时对设计工程问题、预测自然现象的变化等方面也起着非常重要的作用.本文主要研究的发展方程是Sobolev方程和对流扩散方程.　　 本毕业论文共分为四章，第一章是引言部分，主要介绍了Sobolev方程和对流扩散方程的研究背景和现状.第二章是预备知识，主要介绍了MRLW(正则长波)方程的守恒律和不变量.第三章和第四章是文章的主体部分.　　 第三章介绍了MRLW(或GRLW)方程的分裂型最小二乘混合有限元方法，MRLW方程形式为ut+ux+6u2ux-μuxxt=0，它是如下GRLW方程的特殊形式ut+ ux+δutux-μuxxt=0.MRLW(或GRLW)方程的分裂型最小二乘混合有限元格式的优点在于它降低了原问题求解的难度和规模，简单高效.这种方法将原问题GRLW方程转化为两个系统，其中一个只含时间变量的导数，另一个只包含空间变量的导数.对只包含空间变量导数的系统，提出最小二乘混合有限元方法，它可以分裂成两个单独求解的对称正定子格式，由此得到的格式可以并行求解.数值例子验证了分裂型最小二乘混合元格式具有守恒性.具体来说共分为四小节:§1介绍MRLW方程的解析解和不变量;§2在介绍完有限元空间之后构造出MRLW方程的半离散和全离散的分裂型最小二乘混合元格式;§3给出3个数值算例来验证该方法的有效性;§4给出一些注解.　　 第四章主要介绍了如下对流扩散方程的DDG(直接间断Galerkin)方法｛(a) ut+f(u)x-(a(u)ux）x=0,(x,t)∈(a,b)×[0,T],(b)u(u,l)=u(b,l)=0, l∈[0,T]，(c)u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈I=[a,b],DDG方法的主要特点是，求解方程时，在每个计算单元上，直接利用方程的弱形式求解，而计算单元之间仅通过数值通量联系在一起.这种方法只是改变数值通量的格式，而没有改变方程的弱形式，易于实施，格式简单，计算量小，精度高并且能够保持物理量之间的守恒关系.具体分为3节:§1节构造问题(1.5)的DDG格式，定义数值通量的具体表达式，给出该方法的半离散和全离散格式;§2节给出了容许性和能量稳定性的概念，并用其讨论了该方法的稳定性;§3给出数值算例说明方法的有效性.