【摘 要】
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Schr?dinger方程不仅是量子力学的基础方程之一,也是偏微分方程中一个重要的方程.本文主要研究两类导数非线性Schr?dinger方程孤立波解的轨道稳定性理论.下面这类导数非线性Schr?dinger方程（DNLS-b）:存在形如下面的孤立波解:其中 b≥0,（ω,c）∈Ω:= {（ω,c）∈ R+×R:c2<4ω 或 c =2（?）},并且φω,c 满足下面方程:Ohta[92]2014
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Schr?dinger方程不仅是量子力学的基础方程之一,也是偏微分方程中一个重要的方程.本文主要研究两类导数非线性Schr?dinger方程孤立波解的轨道稳定性理论.下面这类导数非线性Schr?dinger方程（DNLS-b）:存在形如下面的孤立波解:其中 b≥0,（ω,c）∈Ω:= {（ω,c）∈ R+×R:c2<4ω 或 c =2（?）},并且φω,c 满足下面方程:Ohta[92]2014 年证明了,当 b>0 时,存在 κ = κ（b）∈（0,1）使得:当-2（?）<c<2κ（?）时,DNLS-b方程（0.0.1）的孤立波解uω,c（t,x）是稳定的;当2κ（?）<c<2（?）时,DNLS-b方程（0.0.1）的孤立波解uω,c（t,x）是不稳定的.其中,端点情形c=2（?）和退化情形c＝2κ（?）成为遗留问题.第二章,证明了当b>0时,DNLS-b方程（0.0.1）在端点情形c = 2（?）时,孤立波解uω,c（t,x）是轨道不稳定的.在端点情形时,原本含两个参变量的孤立波解退化成了一个参变量.通过仅剩的一个参变量,要得到满足两个正交条件的“负方向”,这是本章的主要困难.我们采取截断技巧,以及端点情形时方程及解的特殊结构,构造出了所需的“负方向”,再利用Lyapunov方法,证明了不稳定性.第三章,证明了当b>0时,DNLS-b方程（0.0.1）在退化情形c＝2κ（?）时,孤立波解uω,c（t,x）是轨道不稳定的.这里的κ=κ（b）∈（0,1）,使得P（φω,c）=E（φω,c）=0.由于该情形的退化性,Lyapunov方法不再适用.为了解决这个困难,我们结合由Weinstein[110]引进并且由Martel和Merle[75]进一步发展的调制稳定性讨论,和Wu[113]中得到Virial恒等式,得到不稳定性的证明.广义导数非线性Schr?dinger方程（gDNLS）:存在如下形式的孤立波解:其中σ>0,（ω,c）∈Ω,并且是满足下面方程:Liu,Simpson 和 Sulem[73]2013 年证明了,当 1<σ<2 时,存在z0（σ）∈（0,1）使得:当-2（?）<c<2z0（?）时,gDNLS方程（0.0.2）的孤立波解uω,cg（t,x）是稳定的;当2z0（?）<c<2（?）时,gDNLS 方程（0.0.2）的孤立波解uω,cg（t,x）是不稳定的.Fukaya[29]2016年进一步证明了 7/3<σ<2时,c =2κ（?）情形孤立波解uω,cg（t,x）的不稳定性.他们的工作后,c=2κ（?）（1<σ≤7/6）和c = 2（?）这两个情形成为遗留问题.第四章,证明了当1<σ<2时,gDNLS方程（0.0.2）的孤立波解uω,cg（t,x）在退化情形c＝2z0（?）是轨道不稳定的.在退化情形下,Lyapunov方法要求非线性项有足够高的正则性.为了避免正则性的讨论,我们运用Wu[115]中的办法,精细地构造了一类Virial泛函以取代Lyapunov泛函,再利用调制稳定性,最终证得不稳定性.
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