香农采样定理的数据获取是一个基于带宽的局部采样过程，要求采样频率至少为带宽的两倍。而当今的信号处理需要越来越高的采样频率，这就给传统的信号处理方式带来了极大的挑战。另一方面，为了更详尽地获取信号，需要采集更多的数据；但是又为了传输存储的经济性，又不得不抛弃更多的数据。压缩感知从研究信号带宽转移到研究信号结构特征。当信号在某个变换域稀疏示时，就可以用与变换基不相关的测量矩阵以远低于奈奎斯特频率对信号进行全局观测。这样在采样的同时对数据进行压缩，再运用优化算法对采样数据进行重构，可以实现完全恢复原始信号。本文在分析已有重构模型优缺点的基础上，采用基于l1范数的方法实现信号恢复。传统的基于l1范数模型算法不能用于大规模数据处理，针对此问题，从梯度下降法出发，推导出基于梯度恢复算法的迭代收缩阈值法。此方法复杂度低，不但能应用于大规模数据处理，而且收敛速度快。深入分析影响重构的各个因素，得出正则化模型和参数λ是影响重构效果的主要因素。然后针对已有随机测量矩阵复杂的缺点，提出了一种新的随机测量矩阵，此测量矩阵生成方法简单，在同等条件下，具有与高斯矩阵相似的恢复效果，而且有更快的重构速度。最后引入快速迭代收缩阈值算法，使收敛速度从O(k-1)提高到O(k-2)。已有的基于全变分的图像恢复算法复杂度高，因此引入梯度投影法用以解决全变分模型图像恢复。此方法在去除高斯类连续分布的噪声时不但有很快的计算速度，而且有很高的恢复质量。但是此方法用于椒盐噪声时不但去噪效果不好，而且还会引入新的噪声。中值去噪能很好地去除椒盐噪声，现实中图像往往含有多种噪声。签于此，本文提出一种级联的去噪方式：先用基于最小全变分的梯度投影法去除高斯噪声，然后利用中值滤波法去椒盐噪声。此方法在图像复原中能取得很好的恢复效果。再把梯度投影法和迭代收缩阈值法应用于含噪声的模糊图像，取得了很好的重构效果。