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伸展梁又被称为有轴向运动的梁，这种动力学模型在很多领域得到了广泛的应用，例如机器人手臂操作、空间伸展结构、自动化机械工具等。其力学行为的研究已成为固体力学的一个活跃的研究方向。伸展梁的振动及其稳定性的研究在实际工程中有着重要的应用价值。本文研究了基于Rayleigh梁理论的伸展梁和基于经典梁理论的功能梯度材料伸展梁的稳定性问题，完成了以下两方面的工作。 (1)研究了端部有集中质量块的伸展Rayleigh梁的稳定性。基于Rayleigh梁理论，建立其能量表达式，采用变区域有限元法和拉格朗日方程建立了伸展梁的运动方程，并得到了依赖于时间的特征值问题，求解得到了系统的前三阶复特征值。对于恒速轴向伸展梁，通过它的前三阶复特征值讨论了其稳定性，并讨论了端部集中质量块的质量、梁的伸展速度对稳定性的影响。 (2)研究了基于经典梁理论的功能梯度材料伸展梁的稳定性。假设材料常数仅沿梁的厚度按材料组分的体积分数以幂函数连续变化，建立其能量表达式，采用变区域有限元法和拉格朗日方程建立了功能梯度材料伸展梁的运动方程，并求解得到了随FGM梁伸展时前三阶复特征值的变化关系，讨论了功能梯度材料的梯度指标、运动速度对功能梯度材料伸展梁的稳定性的影响。