【摘 要】
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设α是一个d次的代数整数,其极小多项式为,其中,α1=α,α2,…,αd为其所有共轭根.若α的所有共轭根都是正实数,则称α是全实正代数整数.若P(x)是互反的,即满足P(x)=P(1/x)xd
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设α是一个d次的代数整数,其极小多项式为,其中,α1=α,α2,…,αd为其所有共轭根.若α的所有共轭根都是正实数,则称α是全实正代数整数.若P(x)是互反的,即满足P(x)=P(1/x)xd,则称α是互反代数整数.代数整数α的Mahler测度就是其所有模长大于1的共辄根的模长的乘积,记为M(α),M(α)1/d为α的绝对Mahler测度,记为Ω(α).代数整数α的长度就是其极小多项式的所有系数的绝对值之和,记为L(α),L(α)1/d为α的绝对长度,记为L(α).我们的主要工作是对全实正代数整数的绝对Mahler测度的下界以及全实正互反代数整数的绝对长度的下界进行了讨论.首先证明了除了有限个例外点,对于任意d次的全实正代数整数α,都有Ω(α)≥1.722396…,该结果改进了Flammang关于全实正代数整数绝对Mahler测度的下界,并获得了一个新的例外点.其次,证明了除了有限个例外点,对于任意d次的全实正互反代数整数α,都有L(α)≥2.365855….最后,还对全实正代数整数绝对长度的下界进行了讨论,并得到了与整超限直径有关的两个推论.
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