本文采用多重分形去趋势波动分析法(MF-DFA),尝试从动态的视角描述和量化学生在传统学校数学问题解决行为的发展方式,以此来探讨学生在传统数学问题解决中行为特征及其对后续学习的影响。通过分析四名学生一年内处理前后连贯的,但是不同内容背景的代学问题的行为表现,本研究描述了学生自身行为方式的不变性及其对后续问题解决的影响。传统的因素分析方法可以深入分析学生数学问题解决多样的行为方式背后的原因,但由于个体行为方式的多样性以及思维的内隐性,使得因素之间的分离非常困难,因此也很难做到全面展现因素对于后续内容学习的影响。文章的第二章是对当前已有研究中,数学问题解决分析框架的述评,意在展现学生行为多样性及其因素界定之间的矛盾。文章的第三章从学生解题行为特征入手,抽取出学生行为模式的统一特征:即将问题背景结构进行转换和分解,化为熟悉的和小的子结构,并应用相关的程序性或陈述性知识加以解决。由此提出了学生行为模式的分形特征假设——自相似性。运用分形的思想,分析学生个体复杂的行为特征,即无论是从一系列题目到一个题目,再到题目中的某一步,甚至到某一步中的某个部分,都具有上述自相似的特征。为了验证上述现象属于分形特征的猜想,文章的第四章和第五章通过质性分析和量化分析——多重分形去趋势分析法(MF-DFA)的方式给出验证。本文的研究对象是上海本地初中的四名学生,为保证结论的可推广性,四名学生中的两名,六年级的学生(A)和学生(B)来自于同一个班级,学生(A)的程度好于学生(B)的程度。七年级的学生(M)和学生(N)来自于不同的两个学校,学生(M)的程度好于学生(N)的程度。四名学生由三位不同经验的执教教师教学。学生题目的来源为学校试题,为保证数据来源的自然性,体现学生本身学习进程的真实状态,本文在数据收集和编码上尽量减少外在因素对数据的影响,第一,同一个组的两名学生使用相同试题,题目完全来自于学校教师,不做任何调整。因此题目完全遵循日常的教学顺序。第二,对于学生行为的编码是抽取学生在解题流程中可观察和可数的行为表现,按照解题流程:分解,演算,矫正顺序统计各个步骤的数量,并按照题目顺序排成一行。每个学生共处理885道题目,产生2655个排列数据。通过上述的分形分析工具,研究学生问题解决行为的长期特征和相互影响。多重分形去趋势分析法(MF-DFA)的结果表明,学生早期的基本知识和基本训练的熟悉度分为两种行为特征。①学优生将解题步骤和程序压缩,体现出数学问题解决思维的流畅性,其行为特征是演算步骤减少和解题步骤的精简,这种压缩的行为特征将对后续内容以及陌生问题的解决带来质的飞跃。学生会从整个问题背景结构出发对局部知识进行有意识和目的的考虑和修正。②学困生虽然在局部知识点表现出程序的流畅性,但仅仅表现出机械的对问题局部反复扩展的运用程序性知识,这种扩展的行为特征将对后续内容以及陌生问题的解决带来极大的阻碍。学生倾向于将整个问题背景结构进行分解,失去问题背景结构下局部知识点展开的目的和方向,导致学生无法理解所展开步骤和问题解决之间的联系。③学生行为特征表现出复杂自相似性(多重分形特征),学优生将以往行为经验迁移到后续的学习之中,对新内容的处理更加倾向于从整个结构上进行审视,将分散的知识点看做一个整体进行监控,寻找知识点之间的联系,从而加强了整个知识点之间的联系,形成更为牢固的知识体系,为新知识的学习奠定基础。学困生将以往问题解决经验迁移到后续的学习之中,对新的知识更加倾向于将完整的结构分散成孤立的子结构进行处理,将互相联系的知识点分解成独立的操作,隔断了知识点之间的联系,从而削弱了整个知识点之间的联系,形成更为松散的知识体系,为新知识的学习制造了障碍。本文研究数据表明,①基本知识和基本技能的流畅性并不是外在判断学生学习的指标之一,因此传统教学对流畅性的看法不应该停留在如何快速表现已有的程序性知识(比如熟记公式、定理、解法),而是需要在学生熟识这些知识的时候,帮助学生从结构层面理解这些操作的意义,这时候表现出的流畅性是高度压缩和跳跃的(比如知道什么时候该用什么样的解法)。②学困生扩展式的解题行为特征,在新知识学习阶段就已经形成,并对后续数学学习有负面影响,大量的练习不但不能够帮助学生建立已有知识点间的联系,反而使得已有知识点间呈现孤立、零散的状态(将复杂问题从表面上进行分解为互相独立的知识点),从而对后期的数学学习形成干扰,并增加了学生学习新知识的难度。③学优生压缩式的解题行为特征,则对后续数学学习有积极影响,大量的练习帮助学生建立和巩固已有知识点间的联系,使得知识点间呈现一体、聚集的状态,从而对为后期的数学学习奠定基础,并降低了学生学习新知识的难度。如果行为是思维可以表现出来的一部分,那么行为两端的无限延伸指向哪里?它的一头指向行为的终点,即个体认识世界的重要工具;它的另一头指向起点,即隐藏的个体思维方式。这就是数学问题解决行为的分形特征意义。关于思维和认知的研究,是致力于探索埋藏在思维深处的因素,即行为的起点。现在,也许还需要考虑这些因素对行为终点的意义。