不等式作为一种特殊的代数式,在理论研究和日常的实际应用中起着非常重要的作用。尽管早在1911年,数学家Schur便完成了对Hilbert积分不等式的证明。但是由于其在解析数论、泛函分析、微分方程和逼近论等数学分支中的广泛应用,时至今日,仍然受到了很多数学工作者的关注。尤其是近二十年,国内外期刊上出现了大量关于Hilbert积分不等式的改进和推广的结果。本文主要研究了以下几个问题:首先,通过引入β函数和不同的参数,得到了一类新的Hardy-Hilbert型不等式;其次,根据一些已经证明的基本Hilbert不等式,给出了Hardy-Hilbert型不等式的加强结果;最后,应用加权的Holder不等式,建立了一个推广的多线性的Hilbert积分不等式。而当n=2时,则回到了经典的Hilbert积分不等式。文章内容安排如下,共分为四章:第一章首先介绍Hilbert积分不等式的发展历程、研究背景以及已经取得的一些研究成果。第二章得到了两个定理,并分别给出了它们的推论,同时定理所得到的不等式的核都是由两个基本Hilbert型不等式的核相乘或相除得到的,两个基本不等式的核分别是1/max{xλ,yλ}和1/|x-y|。其中,第一个定理通过引入两个独立参数γ和α,两对共轭指数(p,q)(r,s),建立了一个新的联系两个基本Hilbert型不等式且具有最佳常数因子的推广的Hilbert型不等式,它的核为1/min{xλ,yλ}·|x-y|α-λ。第二个定理则是通过引入β函数、独立参数λ及估算权函数ωλ(p,x),建立了一个新的核为λ齐次且具有最佳常系数因子的Hilbert型不等式,它的核为(min{x,y})λ/|x-y|2λ,作为应用,建立了它们的等价式并通过取特殊的参数值,得到了一些新的结果。由于数学研究者们对权系数方法的不断改进和参量化思想在不等式研究领域中的进一步应用,不等式的改进工作有了更加深入的发展。第三章通过引入Γ-函数和带权的Holder不等式,深入研究Hilbert不等式和Hardy不等式,共得到了三个推广的Hilbert型不等式,前两个定理都是从被积函数的个数上进行推广,建立了Hilbert和Hardy不等式之间的联系,以L. E. AZAR [59]得到的两个结论为基础,进一步得到了相应的n个被积函数的Hardy-Hilbert不等式。第三个定理则是从核函数的形式上对不等式进行推广,将原始的核函数lnx/y/x+y推广为|lnx/y|α/xλ+yλ,得到了一个新的Hilbert型不等式,对α取一些特殊值,便可以得到很多经典的不等式,同时,常数因子的最佳性也容易得到证明。第四章总结全文所做的研究工作,以及现在比较常用的具有代表性的几种研究方法。