本文讨论了超空间2~X的紧致性、局部紧致性、可数紧致性、列紧以及超空间2~X的分离性,获得了如下主要结果:1.拓扑空间X紧致当且仅当超空间2~X是紧致的。2.如果拓扑空间X是T2空间,那么以下命题等价: (1) X是紧致的; (2)2~X是紧致的; (3)2~X是Lindel of空间; (4)2~X是仿紧空间; (5)2~X是亚紧空间; (6)2~X是亚—Lindel of空间; (7)2~X是局部亚—Lindel of空间; (8)存在集族< U 1 , U 2, Un>? 2~X,使得对?i≤n,都恒有X∈< U 1 , U 2, Un> ,且子空间< U 1 , U 2, Un>是亚—Lindel of空间。3.如果拓扑空间X是正则空间,则下列命题等价:(1)超空间2~X是紧致的空间;(2)超空间2~X是局部紧致的空间(3)拓扑空间X是紧致的空间。4.如果拓扑空间X是T2的空间,那么超空间2~X为局部列紧的充分必要条件是2~X为列紧的空间。5.如果拓扑空间X为闭可分继承的闭可数特征的正则空间,且超空间2~X为可数紧的,则2~X为列紧空间。6.如果拓扑空间X是T2的空间,那么超空间2~X为局部可数紧的充分必要条件是2~X为可数紧的空间。推论1:如果拓扑空间X是正则空间,P0( X )= { A | A ? X且A≠?},则下列几个命题等价:(1)拓扑空间P0( X )是紧致的;(2)拓扑空间P0( X )是局部紧致的;(3)拓扑空间X是紧致的空间。推论2:拓扑空间X是T2的空间,如果超空间2~X为局部列紧的,则拓扑空间X为列紧的空间。