本文将讨论曲面嵌入图的几类重要性质.全文共分为以下的五章.在第一章中,我们将介绍本文的研究背景以及相关的一些基本定义.在第二章中,我们将研究平面图的染色扩展问题.设图G为一个平面图且W=W1∪W2…∪Wm为图G的一个子图,其中,每一个Wi均为一个完全子图且满足|V（Wi）| ≤ k.进一步地,我们假设W中任意两个连通分支之间的距离为d.我们知道如果d>6-2,那么W的任意一个正常5-染色均可扩展为图G的一个正常5-染色.Albertson与Moore[3]证明了当d≥4k时,这样的染色扩展即可完成.目前看来,d ≥ 4k是染色扩展所需距离条件的最好可能.事实上,Albertson与Moore[3]已经证明了当d = 4k-2时,始终存在一个图G使得W的某一个正常5-染色是不能够扩展为图G的正常5-染色的.然而,当d = 4k-1时,这种染色扩展能否完成仍然是一个未知的问题.在本章中,我们将研究一种特殊的情形,即每一个Wi均为K2,且得到了距离限制分别为d≥4,d≥6与d≥7时染色可扩展的充分条件.根据我们的结果,可以发现当d≥4,d≥ 与d≥7时,阻碍染色扩展的结构恰好为图G中的3-圈与4-圈.在第三章中,我们将研究曲面嵌入图的染色问题.由Thomassen的理论可知,平面图上的染色扩展是解决曲面嵌入图染色问题的一个重要技巧.具体来说,如果图G在曲面上存在一个三角剖分嵌入使得该嵌入的边宽度足够大,那么G中存在一组不相交的无弦圈{C1,C2,…,Ct}使得沿着这组圈将曲面剪开之后得到的新图G’为一个平面图.这个理论为我们的研究提供了原始的构思.易知,经过这个过程之后,每一个圈Ci均会产生一对圈{C’i,Ci"},且这对圈恰好对应新图G’中的两个非三角面的边界.如果我们能够找到新图G’的一个正常5-染色f满足f（C’i）= f（C"i）,其中1 ≤ i ≤ t,那么只需将每一组对应圈再黏合起来便可得到图G的一个正常5-染色.因此,在这一章中,我们将首先完成由图G中一组不相交的圈出发的染色扩展,在此基础之上,给出曲面嵌入图的5-色定理.显然,我们的圈染色扩展结论连同Thomassen的理论（定理3.3[43]）可以构成一个更加有效的方法去解决曲面嵌入图的染色问题.我们知道图G的任意一个强嵌入方案Π均可以决定一个符号差σΠ:E（G）→{±1}.此时,我们称符号图（G,σn）是由嵌入方案Π诱导出的.1983年,Bouchet[9]猜想如果一个符号图存在非零整数流,那么该符号图一定存在一个非零整数6-流.DeVos[14]证明了这样的符号图是存在非零整数12-流的,目前看来,这是对符号图6-流猜想的一个最好接近.在第四章中,我们将研究由嵌入方案Π诱导出的符号图（G,σn）,并首先证明了若图G在不可定向曲面S上存在一个强嵌入且图G是k-面可染的,则符号图（G,σn）存在一个非零整数k-流,这就给出了符号图的整数流与面染色之间的联系.其次,我们还证明了有一类诱导符号图（G,σn）是存在非零整数8-流的.在第五章中,我们将研究3-正则极点图的最小亏格问题.通过使用翻桥的技巧,我们证明了这一章的主要结论.令图G为3-正则极点图,x为极点且N（x）={α,β,γ}为极点x的邻集.我们用G-x来表示收缩G-中所有2度顶点后得到的新图.设G二x是3-连通的,且Π为G-x的一个平面嵌入.Mohar[32]证明了若N（x）中的任意两点在平面嵌入Π中的面距离至少为4,则g（G）= 2.在此基础之上,我们进一步证明了若N（x）中的任意两点在平面嵌入Π中的面距离至少为2,且N（x）中所有两点之间的面距离之和大于7,则g（G）= 2.显然,对于N（x）中的任意两点之间的面距离而言,我们的结论是对Mohar的结论[32]的一个较好完善.