本文主要讨论了实数的唯一集的大小,β-动力系统中的非齐次丢番图逼近问题,以及实数在不同的β-动力系统中的轨道的丢番图性质.我们计算了相关分形集的Lebesgue测度及Hausdorff维数.本文分为六章:在第一章中,我们介绍一下分形几何的历史以及相关问题的背景.第二章则主要用来给出Hausdorff维数的定义、性质,以及各问题所需的预备知识.然后,我们在接下来的三个章节中,分别对上述三个方面的内容进行详细地讨论.　　在第三章中,对于任意的实数x∈[0,1],我们考虑了其唯一集,也就是位于区间(1,2)中的使得x关于其展式唯一的那些基β>1所构成的集合.我们发现对于所有的x∈(0,1]都有:(1)数字2是其唯一集的聚点;(2)其唯一集都是Lebesgue零测集;(3)其唯一集的Hausdorff维数都是1.进一步地,结合de Vries及Komornik[1]的结果,我们可以得到对于任意的x∈(0,1],其唯一集及唯一集的闭包都是无处稠密的.　　在第四章中,对于任意的实数β>1,我们考虑了β-动力系统中的非其次丢番图逼近问题.具体地说,对于给定的正函数φ:N→R+,我们计算了集合Eβ(φ)={(x,y)∈[0,1]×[0,1]:|T nβx?y|<φ(n)对无穷多个n∈N成立}的Lebesgue测度及Hausdorff维数,并得到如下结果:(1)集合Eβ(φ)的Lebesgue测度满足0-1律,即当级数∑φ(n)收敛时,其二维Lebesgue测度为0;而当级数∑φ(n)发散时,其二维Lebesgue测度为1.(2)集合Eβ(φ)的Hausdorff维数为1/(1+α),其中α=lim inf n→∞?logβφ(n)n.　　在第五章中,对于任意的实数x∈(0,1],我们考虑了那些使得x在β-变换下的轨道具有较好的逼近性质的β>1所构成的集合.具体地说,对于给定的实数序列{xn}及正函数φ:N→R+,借助于质量转移原理,我们证明了集合Ex({xn},φ)={β>1:|T nβx?xn|<φ(n)对无穷多个n∈N成立}.的Hausdorff维数满足0-1律,即当lim sup n→∞logφ(n)/ n=?∞时,其Hausdorff维数为0;否则,其Hausdorff维数为1.利用同样的方法,我们推广了Persson和Schmeling[2]及Li等[3]的结果.　　在最后的第六章中,我们先总结了本文的主要结果,然后,又针对每一个结果提出了进一步研究时可以考虑的问题.