树是组合数学中一类经典的组合结构,现在依然是组合数学中一个活跃的领域。树结构在不同领域都有着广泛的应用,例如组合数学、计算机科学、计算生物学以及数学物理等。从图论的角度,一棵树可以被定义为一幅无圈连通图。本论文借助一些经典的组合工具来研究几类树上的统计量,并刻画了树和其它组合结构的联系。首先,利用有根树这一结构,我们给出了Lacasse在研究机器学习中的PCA-Bayes理论时提出的一个猜想的组合证明。其次,我们引入k-优胜树的概念,并给出了其与k-Stirling排列的双射。这一双射解决了Janson, Kuba和Panholzer提出的关于组合证明k-Stiring排列以及k-平面递增树的等价性的公开问题。此外,我们定义了标记平面递增树,并给出了这一结构和逐级约化树等价的两个证明：文法证明和双射证明。最后,我们定义了一类增广文法,并利用其研究了一些有禁结构的性质。本论文结构如下。第一章给出了基本的定义及相关符号。我们首先介绍树的相关定义,包括不同类的树的定义以及树上一些经典的统计量的定义。接下来,我们简单介绍了两类和树有密切联系的组合结构,分别是n-映射和排列。在本章的最后,我们简要地回顾了上下文无关文法理论。该理论是一种利用形式计算来研究组合结构的方法,由陈永川于1993年首先提出。在第二章中,我们利用树的“合并”操作给出了双根标号树三元组和三根标号树的一一对应,从而给出了Lacasse提出的猜想的组合证明。接下来,我们构造了增广n-映射到三根标号树的一一对应,这给出了Cayley公式的一个加细。另外,这一双射反映了一些统计量的同分布性质。具体而言,双射将增广n-映射中n+1的轨道对应到了三根标号树的第二个根的祖先,而将增广n-映射中的周期点对应到三根标号树的第三个根的祖先。基于这一性质,我们得到了增广n-映射中周期点和轨道长度的一个对称性质。本章的结尾给出了具有i个周期点且其中n+1的轨道长度为j的增广n-映射的计数公式。在第三章中,我们引入k一优胜树。这一定义可以看作k-平面递增树的一个具体化。陈永川和付梅定义了k-Stirling文法,用于生成k-Stirling排列的下降位生成函数。我们加细这一文法,使其同时也可以记录k-Stirling排列的上升位和平衡位。我们证明这一文法同样可以用于生成k-优胜树。这一事实表明了k-Stirling排列以及k-优胜树的等价性。接下来我们给出了k-Stirling排列和k-优胜树的一个直接的双射。这一双射解决了Janson, Kuba和Panholzer提出的公开问题。第四章引入了标记平面递增树。我们证明标记平面递增树和逐级约化树可以由同一个上下文无关文法来生成,我们称之为Schroder文法”。借助Schroder文法,我们证明了具有n个叶子点和k个内点的逐级约化树的个数等于具有n个点,其中有k个无标记的非根点的标记平面递增树的个数。接下来,我们考虑树上的一对操作：收缩与分裂,并据此构造出了标记平面递增树和逐级约化树的双射。这一双射给出了上述同分布性质的组合证明。特别地,此双射的一个特殊情形给出了二叉全划分树和平面递增树的一个一一对应。第五章引入了增广文法的定义。对于上下文无关文法G.我们记G为G的增广文法。我们研究了G和G的关系,并发现G可用于生成某些有禁结构,例如：错排可以视为不含稳定点的排列。然后,我们将这一思路应用于Eulerian文法,据此得到0-1-2递增树和“圈交错”型排列的一些有趣的性质。通过计算,我们发现拥有n+1个顶点且不含有1度极小标号点的0-1-2递增树的个数等于[n]的“圈交错”型错排的个数。接下来,我们引入一个上下文无关文法来生成“圈交错”型排列,据此给出了“圈交错”型排列个数的生成函数。特别地,我们研究了只含偶圈和稳定点的“圈交错”型排列,这一排列给出了整数序列百科全书(OEIS)中数列A003701的一个有趣的组合解释。