本文的研究内容之一是二维拓扑绝缘体与超导体异质结的输运性质。在普通异质结界面,入射电子可以发生反射与透射。在材料与超导体异质结界面,由于超导体中库伯对凝聚体的存在,入射电子除了反射与透射外,还能发生局域Andreev反射和非局域Andreev反射(交叉Andreev反射)。其中局域Andreev反射的基本过程为,入射电子与入射一侧某一个自旋相反的电子一同进入超导凝聚体成为库伯对,从而在入射一侧反射一个与入射电子自旋相反的带正电的空穴。而非局域Andreev反射的基本过程为,入射电子与异质结另一侧的某个自旋相反的电子一同进入超导凝聚体成为库伯对,从而在入射电子的另一侧反射一个与入射电子自旋相反的带正电的空穴。二维拓扑绝缘体的边缘态具有自旋动量锁定的性质,也就是说边缘态输运通道的电子传播方向是由电子自旋取向决定的,比如在同一个边缘,自旋向上的电子向右传播,那么自旋向下的电子只能向左传播,或者两者相反。这种性质会导致二维拓扑绝缘体与超导体异质结中产生完美的局域Andreev反射,也就是说所有的入射电子都发生Andreev反射。非局域的Andreev反射也具有重要的物理意义,比如它的逆过程可以用来制造纠缠电子对。基于前人在二维拓扑绝缘体与超导体异质结中实现的完美局域Andreev反射,我们在同样的体系中提出了新的可以实现可观的甚至完全的非局域Andreev反射的机制。首先,我们利用交换场在原来完美的Andreev反射通道中开辟出了自旋分辨的透射通道。再次,我们提出了不同的机制将透射通道的一部分转化为非局域Andreev反射通道。这样,由于自旋相反的电子对交换场在能量响应上的不同,最终我们实现了自旋分辨的各种输运行为,具体来说就是自旋向下的电子发生完全的局域Andreev反射时,自旋向上的电子则发生透射或者非局域的Andreev反射。更且,由于二维拓扑绝缘体自旋动量锁定的性质,各个输运通道在空间上都是分离的,这极大地有利于实验上的实现,探测及应用。本文的研究内容之二是磁有序体系中自旋波激发谱的拓扑性质。空间平移对称性保证了磁有序体系中的自旋波激发可以用谱能带很好的描述,而能带中的拓扑性质取决于所对应的波函数而与所描述的粒子的统计性质无关,因此拓扑能带理论也同样适用于自旋波。自旋波能谱描述的是自旋波量子磁振子的行为,因为磁振子遵守玻色统计,以及自旋体系特有的一些性质,使得自旋波能谱的拓扑性质具有一些与电子体系不一样的特性。我们研究了大量自旋体系的自旋波激发谱的拓扑方面的性质,发现了两类有趣的体系。第一类是三维蜂窝格子。我们研究了三维蜂窝格子上铁磁基态的最近邻海森堡模型的自旋波激发谱,发现所有的这类三维蜂窝格子都具有环接触零能隙的能谱,对应有鼓面状无色散的表面态。当我们再考虑次近邻Dzyaloshinskii-Moriya相互作用后,每个零能隙环则被打开为两个具有相反拓扑荷的外尔点,对应有连接两个外尔点的投影点的弧状表面态。第二类是具有中心反演对称性的格子。具有中心反演对称性格子上反铁磁基态的自旋体系具有空间反演与时间反演的联合对称性,以及反铁磁序所蕴含的U(1)对称性。我们证明了所有这样的体系的自旋波哈密顿量可以解耦成相互独立的两块,而且两块产生的自旋波能谱是完全一致的,当我们在某一子块中找到外尔点时,那么在另一子块也相应地有外尔点,而且空间反演及时间反演联合对称性保证了这样的两个外尔点的拓扑荷是相反的,因而它们共同构成了整个体系的一个狄拉克点。相应地,在系统表面则有双重的弧状表面态。