【摘 要】
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本论文的研究对象为非线性不等式约束优化和极大极小优化问题.最优化是运筹学与控制论学科十分重要的分支,广泛应用于国民经济规划、生产经营管理、工程设计、交通运输和国防建设等重要领域.最优化研究的核心问题是各类优化模型的理论及相应快速有效的数值算法,其研究在国内外一直非常活跃.非线性极大极小优化问题是非线性规划中的一类非常重要的特殊优化问题,一方面,极大极小问题在非线性规划及其他数学问题中有很多基础性的
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本论文的研究对象为非线性不等式约束优化和极大极小优化问题.最优化是运筹学与控制论学科十分重要的分支,广泛应用于国民经济规划、生产经营管理、工程设计、交通运输和国防建设等重要领域.最优化研究的核心问题是各类优化模型的理论及相应快速有效的数值算法,其研究在国内外一直非常活跃.非线性极大极小优化问题是非线性规划中的一类非常重要的特殊优化问题,一方面,极大极小问题在非线性规划及其他数学问题中有很多基础性的应用;另一方面,极大极小优化在工程设计、最优控制、金融管理、能源与环境等诸多实际应用问题中有着广泛的应用.而且随着现代科技的快速发展和大数据时代的到来,相应问题的规模会越来越大.为此,建立中大型规模的极大极小优化问题的高效、稳定算法具有重要的理论意义和实际应用价值.本论文的研究工作可以分为四个部分:第二章提出了求解非线性不等式约束优化问题的一个可行QP-free算法.算法在每次迭代中,可行下降方向通过求解两个具有相同系数矩阵的线性方程组产生,系数矩阵右下角子矩阵为零矩阵,具有较好的稀疏性.在较为温和的条件下,该算法具有全局收敛性和强收敛性.数值试验表明算法是有效的.在第三章中,结合强次可行方向法和工作集技术,提出了求解非线性不等式约束优化问题的一个强次可行QP-free算法,算法的初始点可任意选取.算法在每次迭代中,组合求解两个具有相同系数矩阵线性方程组的方向来获得主搜索方向,系数矩阵右下角子矩阵为非零对角阵,且减弱了近似Hessian矩阵的正定假设条件.在相对较弱的假设条件下,该算法不仅具有全局收敛和强收敛性,而且能确保迭代点列有限步落入可行域.最后,大量的数值试验表明了算法是有效的.在第四章中,结合广义梯度投影方法和近似积极集技术,给出了求解无约束极大极小问题的-广义梯度投影算法.基于无约束极大极小问题的稳定点条件,给出了一个新的最优识别函数.巧妙地构造了下降的搜索方向,其由一个-广义梯度投影公式获得,可减少大量的计算成本.在较为温和的假设条件下,算法具有全局收敛性和强收敛性.最后,对算法进行了初步的数值试验,其结果表明该算法是有效的.第五章考虑了不等式约束极大极小优化问题,基于原问题的稳定点条件,既不需要指数光滑化函数,也不要等价约束光滑化,提出了求解极大极小问题的一个可行QP-free算法.借助于一个新的更紧工作集,给出了新的系数矩阵右下角子矩阵构造技术,这可避免计算量较大的转轴运算,同时使得系数矩阵具有较好的稀疏性.算法在每一次迭代中,通过求解两个相同系数矩阵的线性方程组来获得搜索方向.在较为温和的假设条件下,该算法具有全局收敛性和强收敛性.最后,初步的数值试验验证了算法的有效性.第六章概括总结了本文的主要研究工作和成果,展望了有待进一步深入开展的几个研究工作.
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