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本文利用Y.Bilu、G.Hanrot和P.Voutier关于Lucas数和Lehmer数的本原素除子的存在性的深刻理论、二次丢番图方程解的表示以及二次域类数等方面的精细结果研究一些指数丢番图方程的整数解和解数。
第一章，研究了一些广义Ramanujian-Nagell方程，得到了如下一些结果。
1.设整数D>2且不是2的方幂，奇素数p不能整除D，证明了丢番图方程x<2>+D=p仅当D=3，p=13时存在两组使2|m的正整数解(x，m，n)，否则此方程最多存在一组使2|m的正整数解(x,m，n)，从而改正了Bugeaud<[6]>的一个错误。
2.设整数D>2且不是2的方幂，奇素数p不能整除D，证明了方程x<2>+D=p最多有两组正整数解(x，m，n)，从而改进了Bugeaud<[6]>和乐茂华<[50]>的结果。
3.证明了丢番图方程x<2>+(3a<2>±1)=(4a<2>±1)在3a<2>±1为奇素数或奇素数幂时恰有两组正整数解(x，m，n)。
第二章，研究了指数丢番图方程A+B=C，得到了如下一些结果。
1.设A=|m(m<4>-10m<2>+5)|，B=5m<4>-10m<2>+1，C=m<2>+1，2 |m>0，证明了丢番图方程A+B=C仅有正整数解(x，y，z)=(2，2，5)，从而改进了Terai<[3]>、曹珍富<[65]>、董晓蕾<[680]>和乐茂华<[66]>的结果。
2.设整数a≥2，证明了丢番图方程a<2x>+(3a<2>±1)=(4a<2>±1)仅有正整数解(x，y，z)=(1，1，1)。
3.设整数a≥2，证明了丢番图方程(8a<3>±3a)<2x>+(3a<2>±1)=(4a<2>±1)仅有正整数解(x，y，z)=(1，1，3)。
第三章研究了指数丢番图方程ax<2>+D=P,推广了第一章的一些结果。
设整数a>1是一个无平方因子的整数，素数p不能整除D，证明了：
1.除了某些特别情况外丢番图方程ax<2>+D=p最多有两组正整数解(x,m,n)。
2.丢番图方程ax<2>+D=p最多有三组正整数解(x，m,n)。