在各类工程，金融，数学等领域中，经常要遇到类似下面形式的方程dyt=f(yt)dxt，(0.0.1)其中x是一个多维的驱动信号，f是一列驱动的向量场。1如果x∈C1或者x∈C1-var那么这个方程可以理解为(y)(t)=f(y(t))(x)（t)其中C1-var表示连续的局部有限变差的轨道的集合。在这种情况下，更准确的说原来的方程应该理解为yt=y(0)+∫t0f(ys)dxs.(0.0.2)而对于x(∈)C1-var，需要将低正则性（例如x∈Cp var其中p＞1）与不连续性区分开来。在x∈Cp-var情况下，例如连续的半鞅（其中p＞2），这时要理解方程(0.0.1)，经常需要考虑的是It(o)或者Stratonovich意义下的积分。关于半鞅驱动的微分方程的研究，可参考例如Applebaum[2]，Jacod-Shiryaev[40]，Kurtz-Pardoux-Protter[46]，Protter[62]等众多经典的著作。从这个例子也可以看出，如果驱动的轨道是非常“粗糙的”(p≥2)，那么它所驱动的积分通常是不被该轨道唯一决定的(It(o)v.s.Stratonovich)。如果没有半鞅的结构（甚至没有概率的框架下），例如金融中股票的走势图就是单一的一条“粗糙的”轨道，Lyons在他创造性的文章[53]中建立的rough path理论（本身是确定性的分析）为理解这类由“粗糙的”轨道驱动的方程提供了强大的理论基础。其中要求x∈Cpg，p＜∞，也就是所谓的连续的几何p-rough path空间。对于方程中类似于It(o)或者Stratonovich这样的积分不唯一的现象则由rough path结构的高阶项所唯一决定了(例如给定半鞅X，对应It(o)或者Stratonovich的积分，是由不同的驱动的rough path(X，∫XdX)与(X，∫XοdX)决定的）。其中，概率的信息主要被用于构造这种随机的rough path（参考Lyons-Qian[51]，Lyons[53]，Friz-Victoir[18]，Friz-Hairer[17]）。对于连续半鞅作为rough path的研究，可以参考Coutin-Lejay[10]，Friz-Victoir[20，18]。在Flint-Hambly-Lyons[15]中，作者考虑了连续半鞅驱动的方程的逐段线性的Wong-Zakai逼近。在Lyons-Yang[52]中，作者考虑了It(o)SDEs和平均化的Stratonovich解的关系。　　另一个有意思的非概率的问题，当驱动函数x带跳的时候，例如考虑在有界变差的情况下，取x∈D1≡D∩V1，其中D表示右连左极的轨道全体，（因此dx可以理解为Lebesgue-Stieltjes测度），可以考虑下面的方程yt=y0+∫t0f(ys)dxs，(0.0.3)yt=y0+∫t0f(y-s)dxs，(0.0.4)yt=y0+∫t0f(y)◇dxs,(0.0.5)其中方程(0.0.3)表示Lebesgue意义下的积分方程，方程(0.0.5)可以理解为“将跳点处打开一个“小区间”，然后将左右极限用直线连接起来，从而变为解一个连续轨道驱动的方程，然后再忽视添加的“小区间”对应的解的部分”（这也称作“Marcus典则解”）。而这样做的代价是改变了原来的积分或者方程（相当于将It(o)意义的方程变为了Stratonovich方程），当轨道非常粗糙的时候，这个变化并不是明显可逆的（此时积分形式非常复杂），因此用后者研究前者是非常困难的。dy=f(y)dx≠d(y)=f（(y)）d(x).第一个方程(0.0.3)并没有太大的意义，因为很容易得到这类方程并不一定存在解(例如考虑y0=1，f(y)=y，dx=δ1，容易得到y1=1+y1）。对于后面两类方程，在Young的情况下，i.e.x∈Dp，即右连左极且有限p-变差(‖x‖pp:=supP(∈)[0，T]∑u，v∈P|xv-xu|p＜∞)，其中p∈[1，2），首先由Williams[73]中进行了研究，其中它们分别被称为正向的以及几何的方程。　　本文还进一步研究了这种广义的rough path理论在线性概率中的应用。对于给定的一般的（右连左极的）半鞅，及其对应的It(o)提升，就是一个随机的（依赖于ω）rough path（此时，经典半鞅的B-D-G不等式等估计对于随机的rough path也是成立的）。因此就建立了经典的一般的半鞅理论与rough path理论的对应。其中对应经典的半鞅驱动的方程解的连续性理论，(例如在熟悉的UCV/UT类条件下的连续性定理，参见Kurtz-Protter[47]，[48]，Jakubowski-Memin-Pages[41])，也有对应的随机rough微分方程的理论，也就是定理5.1。从本质上讲，与随机微分方程不同的是，在考虑rough微分方程的时候，经典的UCV/UT条件被替换为rough path意义下的紧的条件（参见第五章）。两者的关系是，如果给定的半鞅满足UCV/UT条件，那么他们就会满足我们的紧性条件。但是要注意的是，我们的紧性条件并不需要半鞅的结构。这点对于齐次系统(homogeneous system)的研究是非常有用的(参见Kelly-Melbourn[42，43，44]，Chevyrev et al[39])。为了验证定理5.1中需要的紧条件，在第五章的最后一部分提供了一些了解的可以用来验证紧性的办法。其中，提出了一个离散rough path逼近的Besov类的判定方法。这个结果将改进了Kelly[42]中的结果。（其中Kelly结果对应regularity structure中Erhard-Hairer[14]的结果，关于regularity structure理论更详细的内容可以参考Hairer[27]，Bruned-Hairer-Zambotti[3]，Hairer-Mass-Weber[30]，Chandra-Hairer[6]，Bruned-Chandra-Chevyrev-Hairer[4])。它可以将Kelly文章中6+阶的矩条件削弱为2+阶的矩条件。要注意的是，这类的矩条件几乎是最优的，这点可以由满足UCV/UT的鞅例子中看出（此时最优矩条件为2）。由于现有的Besov空间并不能处理极限为带跳的轨道驱动的微分方程，所以我们的结果并不会被离散的regularity structure[14]，以及最近关于Besov空间一进步研究的结果[27，29]所包含。　　文章的最后一部分，考虑rough path理论在G-期望中的进一步的应用。G-期望理论（或者是非线性期望理论）是由彭在[59]，[58]中提出的一种满足时间一致性的次线性期望理论。它是由一个全非线性的抛物PDE所定义的。与其对应的一系列的非线性随机分析，非线性倒向微分方程理论在Peng[59]，[58]，[60]以及Hu-Ji-Peng-Song[34]，[35]中建立起来。对于非线性期望的进一步的研究，还可以参考Denis-Hu-Peng[12]，Hu-Peng[37,36],Li-Peng[50],Soner-Touzi-Zhang[64],Song[65,67,68,69],Hu-Wang-Zheng[38]，Li-Peng[49]。对于非线性期望，一个很自然的问题是，非线性随机积分与方程是不是也对应着一个rough path解释。该问题首先由Geng-Qian-Yang[24]中得到研究，作者将G-布朗运动提升为几何随机rough path。而在这一部分中研究了非线性布朗运动的α-H(o)lder连续性，并进一步建立了G-期望下面的rough path的Kolmogorov准则，这与[24]中的提升方法比较更加简便自然。然后研究了G随机积分与随机微分方程与rough积分与方程的关系。建立了逐轨道的Wong-Zakai定理。最后还考虑了G-布朗运动的粗糙性，建立了非线性期望下的Norris定理，从而证明了G-布朗运动驱动的随机积分和光滑积分是可以区分开来的。从应用的角度看，G-布朗运动的rough path分析将进一步体现出采用G-期望理论分析金融现象的合理性（例如股票走势图就是粗糙的轨道），而且为资产定价等金融基本问题的研究提供了另一条分析途径。　　现在给出Wong-Zakai逼近逐轨道的收敛速度的估计。　　定理0.14.设f，g，h∈C3b，Y(n)如(0.0.21)中定义的那样。记X为下面G-StratonovichSDE的解,Xt=x0∫t0f(s,Xs)odBs+∫t0g(s,Xs)ds+∫t0h(s,Xs)ds,并且Y是下面G-Stratonovich rough path驱动的RDE的解，dYt=f(Yt)dBstrat+g(Yt)dt+h(Yt)dt,(0.0.24)初值条件为x0。那么对任意的θ＜1/2-α，有下面不等式，‖Y-Y(n)‖α≤M(ω)1/nθ，(c)-q.s..特别地，X=Y，(c)-q.s.并且‖X-Y(n)‖α≤M(ω)1/nθ,(c)-q.s..