丢番图逼近是数论的一个分支,它的核心问题是定量分析有理数逼近实数的问题.在过去的几十年中,这一分支取得了很多引人注目的成果.例如,Khintchine定理,Jarnik定理,质量转移原理和近期已被Koukoulopoulos和Maynard解决的Duffin-Schaeffer猜测.高维的丢番图逼近问题可以分成三种情形:联立型,对偶型和乘积型.本文主要关注乘积型情形.联立型,对偶型情形的结果已经非常完善,而乘积型的结果最近才有了进一步的发展,但矩阵上的乘积型丢番图逼近理论仍未完整建立.首先考虑了矩阵上的乘积型丢番图逼近问题,完整的证明了矩阵上的Hausdorff测度版本的非齐次Gallagher定理.之后,我们把被逼近点的坐标用函数关系限制开始考虑流形上的丢番图逼近问题.流行上丢番图逼近研究的里程碑结论是1998年Kleinbock和Margulis解决了Baker-Sprindzuk猜测,即证明了任意非退化流形M上几乎所有的点都是不可很好联立逼近的.随后的十几年,丢番图逼近理论得到了飞速发展.流形上的丢番图逼近中很多的结果都要求流形是非退化的.对于退化的情况,目前已知的结果仍比较少.我们接着考虑了直线上乘积型丢番图逼近问题,获得了完整的Hausdorff测度理论.全论文共有六章.第一章主要介绍了丢番图逼近问题的研究背景和发展现状以及主要结果,第二章则主要介绍一些预备知识.第三章研究了矩阵上乘积型丢番图逼近问题.设n,m≥1是两个整数,y=（y1,y2,,yn）（?）[0,1]n是一个给定点.设Ψ:Zm→R+是一个多元的逼近函数,令（?）在m=1时,Beresnevich和Velani以及Hussain和Simmons得到了集合Mn,1y（ψ）的s-维Hausdorff测度.此外,Hussain和Simmons提出了关于集合Mn,my（Ψ）的s-维Hausdorff测度的猜测.基于此猜测,我们证明了集合Mn,my（Ψ）的s-维Hausdorff测度具有0-∞律,其取决于某个级数的收敛和发散.随后,在第四章中我们考虑了矩阵上乘积型丢番图逼近问题的更一般情况.设α1,α2,,αn>0是正实数且A（n）=α1+α2+···+αn.继第三章的工作之后,证明了集合（?）的s-维Hausdorff测度具有0-∞律并且确定了它的Hausdorff维数.在第五章中,我们考虑了直线上的点在不同基下展式的乘积型丢番图逼近问题,得到集合（?）的Hausdorff度量理论,其中ψ:N→R+是一个正函数.最后,我们总结了本文的主要结果,同时介绍了某些我们正在思考的问题并提出了一些以后可以研究的丢番图逼近问题.