本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法来研究时间测度上几类动力方程的正解存在性。全文共分五章。 第一章介绍了本文的研究背景和主要工作。 第二章是预备知识，主要介绍了时间测度T的基本概念、“delta”导数及其基本性质、“delta”积分及其运算等。 第三章在有限时间测度[a，b]上研究了几类奇异动力方程的正解存在性。内容分三节。 §3.1主要研究了边值问题{[ρ(t)x△(t)]△+m(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0，(3.1.1)和{[ρ(t)x△(t)]△+λm(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0，(3.1.2)正解的存在性。本节在相对于文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]弱的极限条件下来研究更一般化的奇异边值问题(3.1.1)。算子逼近方法将被用来克服奇异性带来的困难。通过使用不动点指数定理，我们得到了问题(3.1.1)正解的存在性以及问题(3.1.2)正解的存在区间。这些结果本质的推广、改进、包含了文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]的一些主要结果。 §3.2继续研究问题(3.1.2)。本节中的f不必满足文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]，[72]中所要求的那些条件。在一定的极限条件和控制条件下，我们得到了问题(3.1.2)正解的存在性并给出了应用的例子。 §3.3讨论了ρ(t)三1，t∈[a，σ(b)]情形下的问题(3.1.1)，即奇异动力方程边值问题{x△△(t)+m(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0，(3.3.1)和x△△(t)+m(t)f(t，x(σ(t))，x△(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0.(3.3.2)在没有使用任何极限条件的情况下，借助于一定的控制条件，我们得到了问题(3.3.1)和(3.3.2)正解的存在准则，并给出了文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]，[72]的结果都不再适用的例子。 第四章研究了无穷时间测度上奇异动力方程边值问题x△△(t)-k2x(σ(t))+m(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[0，∞)，x(0)=0,limt→∞x(t)=0，(4.1.1)的正解存在性，这里m(t)在t=0奇异而f(t，x)可能在x=0奇异。由于在无穷时间测度[0，∞)上不能直接应用Ascoli-Arzelà定理来证明算子的全连续性，我们用文[90]中的一个基于Bielecki’s范数的相对紧集判定准则来解决这一问题。当f在x=0连续时，§4.1运用不动点指数定理直接得到了问题(4.1.1)整体正解的存在性。§4.2则通过扰动技巧成功解决了f在x=0奇异的问题并使用Schauder不动点定理得到了问题(4.1.1)整体正解的存在性。就我们所知，目前还没有关于无穷时间测度上的奇异动力方程(4.1.1)的类似结果。而且，我们的方法也是不同于文[3]，[54]的。 我们在第五章研究了直线上一类非自治多时滞微分系统{y1(t)=-a1(t)y1(t)+f1(t，Y1(t)，Y2(t)，…，Ym(t))，y2(t)=-a2(t)y2(t)+f2(t，Y1(t)，Y2(t)，…，Ym(t))，ym(t)=-am(t)ym(t)+fm(t，Y1(t)，Y2(t)，…，Y,(t)),(5.1.3)的周期正解的存在性。通过运用多重不动点定理，我们在§5.3和§5.4分别得到了系统(5.1.3)两个和三个正周期解的存在性并举出了相应的例子。就我们所知，目前还没有关于(5.1.3)的多解的结果。即使在m=1的特殊情况下，本章主要结果相对于文[40]，[41]，[73]也是全新的。