关联电子体系是凝聚态物理学中长盛不衰的问题，一维体系为研究电子关联提供了一个很好的平台。本论文研究两类一维电子关联体系，一类是三能带Tomonaga-Luttinger液体，我们将讨论其在具有非常规超导电性的准一维铬基超导体的应用，另一类是相互作用Kitaev链，我们通过解析严格解与数值密度矩阵重整化群分析其相图与量子相变。　　本论文的第一部分，从三能带Tomonaga-Luttinger液体的角度研究最近发现的准一维铬基超导体。我们先从一维的[(Cr3As3)2]∞链出发，基于密度泛函理论的结果和分子轨道的概念，提出了三带Hubbard模型。在连续极限下，我们采用玻色化的理论方法得到体系的低能有效理论，系统的（高温）正常态由三能带Tomonaga-Luttinger液体描述。通过计算自旋关联函数，我们解释了实验上观测的自旋晶格弛豫率随温度的非整数幂律依赖关系。在低温下，我们用重整化群的理论方法探究Tomonaga-Luttinger液体的不稳定性，得到体系的相图，发现其中可能存在自旋三态的超导不稳定性。最后我们考虑微弱的链间耦合，研究其对基态不稳定性的影响。　　本论文的第二部分，研究了相互作用Kitaev链模型。我们发现在对称点=t和化学势μ=0情况下可以得到相互作用Kitaev链的严格解。此严格解的区域包含了三个不同的相：平庸超导、拓扑超导与电荷密度波态。通过两个Jordan-Wigner变换和一个自旋旋转，我们可以将这样一个对称模型映射成一个无相互作用费米模型，从而可以通过奇异值分解得到模型的严格解。基于严格解，我们研究了体系的基态性质，并发现了体系拓扑相与拓扑平庸相之间的对偶对称性。在此基础上我们还通过边缘关联函数研究了拓扑相与拓扑平庸相之间的量子相变。当参数偏离严格可解区域时，我们用密度矩阵重整化群的方法研究了一般参数情况下的相互作用Kitaev链，并给出了相应的相图。我们发现边缘关联函数只在拓扑超导态具有非零的值，有效地刻画了拓扑超导态中的拓扑序。通过计算拓扑超导态中的谱函数，我们研究了相互作用对Majorana零模的影响，发现相互作用会抑制Majorana零模在谱函数中的权重。并会改变连续谱的权重随频率依赖关系的指数，这在实验上可以通过遂穿电导进行验证。