一维奇异摄动两点边值问题的弱有限元方法

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在科学与工程领域中,许多实际问题都归结为偏微分方程定解问题。然而,大部分偏微分方程难以求出解析解,只能采用数值方法近似求解。求解偏微分方程的数值解常用方法主要有有限差分法和有限元方法。近年来,基于间断有限元方法,人们又提出了弱有限元方法。弱有限元方法的主要思想是用定义在间断函数空间上的弱导数代替偏微分方程的变分方程中的古典导数,并在弱有限元空间上对变分方程进行数值求解。弱有限元方法为偏微分方程的数值求解提供了一个全新的思想,它是已有的间断有限元方法的改进和发展。本文研究-维奇异摄动两点边值问题的弱有限元方法。定义一维区域间断函数的弱导数和离散弱导数,然后构建弱有限元空间Sh,建立奇异摄动问题的弱有限元近似格式。本文证明了弱有限元解的存在唯一性与稳定性,分别给出近似解在H1,L2,L∞范数下的最优误差估计,此外,还给出一些超收敛结果。数值实验结果表明了弱有限元方法求解奇异摄动问题的有效性。本文的弱有限元方法保留了传统Galerkin有限元方法特点,同时也具备了新的特点。例如,我们定义的弱有限元空间Sh,满足弱嵌入不等式;另外,离散弱有限元方程可以逐个单元求解,这些特点是多维区域上的弱有限元方法没有的。弱有限元方法最大的特点就是允许使用完全间断有限元函数,有限元函数在单元边界的值可以独立于单元内部函数,从而使得此方法有较高的灵活性。
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