从自然界到人类社会、从自然科学、工程技术到社会科学，时滞现象无处 不在。所谓“时滞”(“time delay”，“delay”)指系统当前的发展趋势明显的依 赖于过去的历史状况。它广泛存在于生态学、生命科学、神经网络、激光、信息 技术、机械工程、航空航天、保密通讯、经济等领域。时滞对系统动力学的影 响常常是本质的，不仅影响系统的稳定性，而且使系统失稳，并发生Hopf分岔、 双Hopf分岔，出现“静默”运动、周期运动、概周期运动、多稳态运动、混沌运 动等丰富、复杂的动力学行为。作为一门新兴学科，时滞动力学用于描述、刻画 时滞对事物演化的影响规律，近十年来已越来越受到国内外学术界的关注。 通过对时滞系统动力学的研究，可以得到时滞对系统的稳定性、分岔的稳 定性和方向、双Hopf分岔的分类和开折、混沌等诸多动力学现象的影响规律， 并对不同背景下若干现实问题赋予不同的含义和应用，以求科学的解释有关现 象机理，如：平衡点稳定性条件可应用于结构减振、镇定、传染病控制中消除疾 病、生物控制中灭害虫、保持生态平衡、神经网络联想记忆中提取信息等方面; 混沌可应用于混沌同步保密通讯、混沌振动筛、大脑的理解、天气预报等方面; 周期解则可应用于人造卫星、航天飞机等飞行器的飞行控制、神经网络同步化 响应和脑神经周期振荡等…总之，对时滞动力系统的研究可以达到两个效果： 预测，根据得到的结果，可以预测到在不同的参数空间区域内，系统演化的长期 性态;控制，根据上述预测结果，通过控制参数可以把系统调节到所希望的状 态，用于不同的应用背景。 双Hopf分岔是时滞引起的一种重要的动力学现象。事实上，在双Hopf分岔 点邻域内具有丰富的动力学行为，不同拓扑结构的动力学模式就多达12种。首 先，每一种动力学模式在物理背景下都具有现实意义；其次，共振双Hopf分岔分 类是一个极其困难的问题，在理论研究方面，至今尚未完成;最后，两时滞和单 时滞导致的双Hopf分岔在开折参数的普识性方面是有本质区别的。上述三方面 原因构成了本论文的研究动机，因此，有必要进一步研究时滞引起的双Hopf分 岔问题。在国家自然科学基金(编号：10472083)的资助下，本论文对以下几个 方面进行了研究，并得到一系列的成果： (1)对1999年以来国际上时滞动力学的研究进展做了简要综述，表明了时滞动 力学研究领域已经扩展到生态学、生命科学、神经网络、激光、IT技术、 机械工程、航空航天、保密通讯、经济等学科中，总结了其中的研究方法， 提出了一些亟待解决的问题，并对今后时滞动力学的发展方向提出了建议 和展望。 (2)利用中心流形定理将时滞Stuart-Landau系统约化到四维中心流形上，通 过规范形方法得到中心流形的规范形，在对规范形进行分岔分析，得到了 非共振双Hopf分岔的开折和分类。然后利用四阶Runge-Kutta法进行数值 模拟，理论分析的结果与数值结果非常吻合。 (3)利用中心流形定理将时滞神经网络系统约化到四维中心流形上，通过规范 形方法得到中心流形的规范形，再对规范形进行分岔分析，得到了非共振 双Hopf分岔的开折和分类。然后利用四阶Runge-Kutta法进行数值模拟， 两种结果非常吻合。 (4)利用中心流形定理、规范形方法研究了糖尿病治疗中的人工胰腺生理模型 非共振双Hopf分岔的开折和分类。并进行了数值验证，二者完全相符。 (5)研究了一类重要的生态系统-有时滞营养循环的半率依赖的捕食-被捕食 系统的稳定性问题。由于系统在正平衡点附近的特征方程在特征根实部 小于0时没有定义，因此作者构造了一个与原系统在正平衡点附近拓扑 结构等价的系统，两个系统在相应的平衡点处稳定性等价。对新系统构 造Lyapunov泛函，就可以得到其稳定性条件，即原捕食-被捕食系统的稳 定性条件。并用数值方法定性的进行了验证，结果表明：捕食者尸体分解 越快，时滞越小，整个系统就越容易稳定。这与生物实际相符合。 本论文有以下三个方面的创新和特色： (1)针对Stuart-Landau系统、神经网络系统、糖尿病治疗中的人工胰腺生理模 型存在的双Hopf分岔现象，本论文对其进行了普适性分类，并相应解释了 每一种动力学行为对应的实际现象，如本论文解释了复杂的血糖波动(即 双稳态)产生的原因，所得到的结果在国内外尚未见到类似的报道。 (2)与以往研究多振子同步问题的方法不同，通过求得双Hopf分岔分类解的解 析表达式，从理论分析而不是从数值分析，直接判断系统是否同步、何种 同步，避免了构造复杂的Lyapunov泛函。 (3)建立了有时滞营养循环的半率依赖的捕食-被捕食分布时滞模型，使得模 型更准确的描述捕食者尸体分解、营养循环的过程。 关键词：时滞，非线性，动力系统，稳定性，双Hopf分岔，开折，分类