前言 近年来,偏微分方程(PDE)方法和曲率驱动流在图像分析处理和计算机视觉领域的应用研究非常活跃。其基本思想是利用偏微分方程将给定的曲线、曲面或退化的图像产生形变,将获得的理想结果作为该偏微分方程的解。就彩色图像处理而言,则可归结为求解耦合PDE方程组问题[6][75]。PDE的设计和分析是这项技术的关键所在。 图像处理的PDE可以通过求解满足一定约束条件的能量泛函的极小化问题得到。其一般形式为 (?)E(u),其中E是与曲面(线)或图像u有关的能量泛函,u一般表示图像亮度值。如果我们用F(φ)表示E的一阶变分,一般情况下,u是能量泛函E的极小化元的必要条件是F(u)=0。由于方程F(u)=0的奇异非线性项导致的严格数学理论的缺乏以及数值解求解等方面的考虑,一般采取引入动力系统(梯度下降法),将方程F(u)=0的求解问题转化为寻找(有时是经过修正的)热流方程 (?)u/(?)t=F(u)的稳态解。其中t是人为添加的时间匹配参数。 在另一方面,不考虑能量泛函而直接导出发展方程的PDE方法近年来也得到了广泛的研究。自从Koenderink,Witkin[44][89]等人在因果性和定位性等前提假设下导出了严格的尺度空间理论之后,众多学者沿这个方向对尺度空间理论做了改进和完善(例如[6][2][?])。本文着重介绍Perona和Malik提出的各向异性扩散模型,他们用有选择性扩散代替与尺度空间理论中与各向同性扩散等价的Gauss磨光以保持图像边沿,Alvarez,Lions,Morel的选择性磨光模型,Osher,Rudin提出的激波过滤器模型以及Sochen,Kimmel,Malladi,Yezzi和El-Fallah,Ford等人提出的图像曲面平均曲率流模型等。这些模型的一般形