图论（Graph Theory）是数学的一个分支，它与数学的其他分支有密切的关系。这些分支包括群论、矩阵论、数值分析、概率论、拓扑学和组合论等。事实上，图论为任何一个包含二元关系的系统提供了一个数学模型；利用图直观、漂亮的表现特性可以使人对现实的系统有清晰的了解。这个领域内的许多问题，即使是对图论一无所知的人，都是非常容易理解的，但是想要得到这些问题的结论却要使聪明的数学家绞尽脑汁。 随着计算机科学与数学的发展，图论已经应用到了各个领域，其中包括物理学、化学、通讯科学、计算机技术、土木工程、建筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、社会学、经济学、人类学和语言学等等，几乎包括了人类社会的所有领域。图论已经成为人们研究自然科学以及社会科学的一个重要工具。 极图理论是图论中的重要组成部分。极图问题中最主要的一类问题是：给定一族图ψ={G₁，G₂,…，G_m}，ex（n；ψ）表示由n个顶点组成的不包含任一G_i∈ψ的图的最多边数。EX（n；ψ）表示由n个顶点组成的不包含任一G_i∈ψ 的边数最多的图（极图）的集合。 在不包含多边形的极图问题中，对于ψ={C₄}的极图问题，Clapham等人给出了所有n≤21的极图（Journal of Graph Theory，Vol．13，no．1，（1989），29-47），杨元生等人给出了所有22≤n≤31时的极图（UTILITAS MATHEMATICA，41，（1992），204-210）；对于ψ={C₃，C₄}的极图问题，Garnick等人给出了n≤24的所有极图（Journal of Graph Theory，Vol．17，no.5，（1993），633-645）． 本文主要研究了ψ={C₃，C₄，C₅}时的极图问题，给出了n≤42时ex（n；{C₃,C₄,C₅}）的值以及n≤42时所有的极图集合EX（n；{C₃,C₄,C₅}）：对于n＞42时的情形，本文给出了ex（n；{C₃,C₄,C₅}）的上界。