图的对称性是代数图论研究领域的一个热门问题.称图Γ是点传递，边传递或弧传递的，如果它的全自同构群分别在Γ的点集，边集或弧集上传递.称图Γ是半弧传递的，如果它是点传递和边传递，但不是弧传递的;称图Γ是半弧正则的，如果它是半弧传递的，且Γ的全自同构群在Γ的边集上是正则的.称一个图是群H上的凯莱图，如果它有一个同构于H的正则自同构群.称一个图是群日上的双凯莱图，如果它有一个同构于H且作用在顶点集上恰有两个轨道的半正则自同构群.　　本文主要研究双凯莱图的对称性，以及折叠立方体网络的g-外连通度.论文结构组织如下:　　第1章主要介绍了本文所要用到的有关群论和图论的基本概念，以及与图的对称性和g-外连通度相关的背景知识和本文计划要研究的问题.　　第2章研究三度双二面体图.双二面体图是指二面体群上的双凯莱图.本章给出了连通三度边传递或点传递非凯莱双二面体图的分类.　　第3章研究两类半弧传递双凯莱图，即交换群和非交换亚循环p-群上的半弧传递双凯莱图，这里p是一个奇素数.　　对于交换群上的双凯莱图，证明了6是交换群上的半弧传递双凯莱图最小可能的度数.作为应用，证明了不存在六度二倍素数平方阶的半弧传递图.此外，给出了循环群上六度半弧正则双凯莱图的完全分类.　　对于非交换亚循环p-群上的双凯莱图，给出了四度非交换亚循环p-群上半弧传递双凯莱图的完全分类.作为应用，给出了四度二倍素数立方阶半弧传递图的完全分类.　　第4章首先证明了每个Bouwer图都是凯莱图，然后完全决定了Bouwer图的全自同构群.　　第5章研究n-维折叠超立方体网络FQn的g-外连通度，其中n≥2.连通图Γ的g-外连通度是指去掉最少的顶点的个数使得Γ不连通且每个连通分支至少含有g+1个顶点.当0≤g≤n+1，n≥7时，本章完全决定了FQn的g-外连通度.　　第6章讨论一些有待研究的问题.