【摘 要】
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本文主要介绍了 Dupaigne Louis,Gentil,Ivan 和 Zugmeyer Simon 三人的论文"A Conformal Geometric Point of View on the Caffarelli—Kohn—Nirenberg Inequality"思路与完善证明过程。利用Bakry和（?）mery介绍的Γ-微积分（carré du champ算子）将Caffarelli
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本文主要介绍了 Dupaigne Louis,Gentil,Ivan 和 Zugmeyer Simon 三人的论文"A Conformal Geometric Point of View on the Caffarelli—Kohn—Nirenberg Inequality"思路与完善证明过程。利用Bakry和（?）mery介绍的Γ-微积分（carré du champ算子）将Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式转换为带权Sobolev不等式:根据Markov Triple定义了三个带权黎曼流形（可以证明他们是共形不变的的,进一步,其上对应的Sobolev不等式也是等价的）,将问题的求解转换为球面CKN空间（带权黎曼流形）上Sobolev不等式;最后,利用Poincaré不等式与积分形式的曲率维度条件CD（ρ,n）的等价性,进一步解释了 Felli-Schneider区域的最佳性。本文首先介绍了黎曼流形、Markov Triple中的基本概念、算子与性质,然后介绍了n-共形不变类、共形不变量以及共形不变类下各类算子的变换公式,最后证明了球面CKN空间满足积分形式的曲率维度条件,进而给出Sobolev不等式的最佳常数、极值函数,并推导相应的Poincaré不等式。
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