数论可以说是数学中最古老的一个分支,追古溯远它可以说是和人类的历史一样古老,而数论中的丢番图逼近是数论的一个研究方向或者研究方法,说的是用有理数来逼近无理数的学科或方法.丢番图逼近可以说是起源于1850年的Liouville提出的一个关于在有理数上次数≥2的代数数的定理,并且Liouville也用这个定理说明了超越数的存在性.后来经过Thue,Siegel,Dyson和Schineider等数学家的一系列努力,最后1955年Roth证明的著名定理:实代数数都是由有理数所穷逼近的,Roth也因为这个结果获得了Fields奖.连分数是数论中的一个非常有用的工具,18世纪时Euler就已经开始研究它了,我们也可以在一些数论书中找到它的影子,比如Hardy和Wright的“An Introduction to the Theory of Numbers”里面就有对连分数非常详细的介绍.连分数本来一直被研究在实数中,直到20世纪30年代,L.Carlitz开始用将其运用到系数是有限域上的形式幂级数中去.从此,人们开始对数域和函数域一起讨论,人们发现数域中的关于丢番图逼近的一些结论,在函数域中也一样成立,比如Roth在发表他在数域中的著名定理不久,Uchiyama就将其推广到系数域特征是0的函数域中,但是在Mather1949年给出Liouville定理在函数域中的版本时,就给出了 Roth定理在函数域的系数域特征大于0时的一个反例.数学家在研究函数域上的丢番图逼近时,根据数域上的情形可以平行的给出很多结论,但却时不时的出现一些反例,显示出函数域的独特之处.而在Mahler给出的反例中,我们发现这个反例只是个超二次元的一个特例,而数学家对超二次元的更多研究发现函数域上的很多结论如果限制在超二次元上会得到相当满意的结论,这也促进我们对系数域的域特征大于0时函数域中超二次元这个子集的研究.本文中,我们将利用连分数这个工具,比较丢番图逼近在数域和函数域上的相似和相异之处,并且着重研究函数域上的一个特殊子集超二次元的性质,考虑到现代计算机的因素,我们更倾向于讨论系数为有限域上的函数域上的情形.