众所周知,线性现象简单且容易理解,实际上,在客观世界中,非线性现象才是普遍存在的自然现象,如天气变化、股市波动、水波运动、粒子运动等。为了更加准确地描述这些非线性现象,科学家们对其进行数学建模,得到一系列关于非线性现象的非线性模型,通过对这些模型进行深入研究和分析,从而了解非线性现象的本质和规律。从数学的角度分析,依据非线性现象建立的模型是非线性方程,我们可以通过寻求方程的解来探究模型所刻画现象的内在规律。由于非线性现象涉及多个学科领域,对它们进行研究和分析,逐渐形成了一门全新学科,即非线性科学。近些年来,各界学者对非线性科学的研究有了新的突破,特别是在信息处理和生态环境等领域,非线性科学不但促进了不同学科之间的交叉融合,而且也加快了各学科的发展。本文的工作主要包括以下几个方面:首先概述了非线性科学的起源和发展,介绍了孤立波的发现及发展历程,介绍了符号计算软件Maple及其相关命令。其次,研究了几个非线性偏微分方程的求解方法,并将其归结为两类求解思想,基于每种思想,分别给出了具有代表性的求解方法。接着,对传统的(G’/G2)-展开法做了两个方面的改进,一是将解的幂级数的下限由零改为负数,二是将该方法扩展到三维及以上的非线性系统,得到了新的扩展的(G’/G2)-展开法,利用扩展的(G’/G2)-展开法求解了 BBM方程和(2+1)维BBM方程,从解的形式上分析,得到了三种不同类型的精确解,当取双曲函数通解中的常数为特殊值时,得到了其钟形和反钟形孤立波解。最后,利用指数函数法求解了具有重要物理意义的正则长波方程(RLW方程)和KdV-Burgers方程,得到了方程的孤立波解。