变分不等式与互补问题是现代最优化研究的一个重要分支。就其形式而言,它是优化问题的最优性条件,因而它在解释与刻画数学、经济、交通控制、金融调控诸多领域平衡状态问题上有广泛的应用。投影收缩算法是求解单调变分不等式与互补问题的一类经典而实用的迭代算法。为了改善原问题的条件,同时减轻每一步迭代的计算量,诸多基于投影的临近点类算法被相继提出并受到广泛的关注与充分的研究。本篇论文主要探讨了投影算子以及临近点类投影收缩算法。首先,我们在第一章中简要介绍了投影算子、单调变分不等式及其相关迭代算法;同时也陈述了它们的一些基本性质,以方便后续讨论。我们将本文的主要内容,按照主题之间的相关程度,分列至第二章到第四章。　　 第二章主要探讨了一类在纯数学及应用数学内有广泛应用的特殊投影。它们是由有限维希尔伯特空间内的内积范数所导出的投影。在凸集上的投影与在超平面上的正交投影类似,同样具有很多相应的性质。利用投影的定义以及已有的性质,我们给出了在一些简单凸集上的投影的具体表达形式或高效数值算法。接下来,我们重点探讨了投影的方向极限。研究结果表明:投影的方向极限存在与否完全取决于凸集在相同方向的外露面(Exposed Face)的存在性。当此外露面存在时,投影的方向极限存在且等于初始点在该外露面上的投影。否则,该投影的方向极限将不存在,并且投影轨迹将发散至空间的无穷远点。利用投影算子的这个极限性质,我们对求解对称正定矩阵最大特征值的乘幂法(Power Method)给出了一个基于投影的几何解释:在乘幂法的迭代点列中,下一个点是由当前点出发,沿梯度方向的射线在单位球上投影轨迹的极限点。进一步研究指出:该射线在任意的可逆线性变换之后虽然对应到不同的投影轨迹,但是所有的轨迹都统一地趋向乘幂法的下一个迭代点。　　 第三章集中讨论了变分不等式的近似临近点类投影收缩算法。首先,我们提出了此类算法的一个统一框架。该统一框架包含一个四元组并满足相应的六条准则;它们共同保证沿下降方向以给定步长迭代所生成点列的收敛性。我们称步长为1的迭代为基本方法(Primary Method)。然而通过研究我们发现:一个更优的步长值可以通过简单公式计算得到。我们称以此为步长的迭代为一般或者推广方法(General Method or Extended Method)。以统一框架为前提,我们分别为对称线性、一般线性乃至非线性单调变分不等式构造了相应的四元组。我们通过六组算例来比较这三类问题所对应的基本方法与一般方法的数值表现。数值模拟的结果证实了我们的理论分析:一般方法比基本方法有很高的优越性,甚至在一些算例中只需要基本方法的一半计算量。进一步研究发现:许多已有的近似临近点类算法都可以归纳到该统一框架中(这也是我们称其为“统一框架”的原因)。我们利用上述得到的四元组,可以重新演绎诸多已有的投影收缩方法,除此之外,还在统一框架下将包括近似交替方向法(ProximalAlternating Direction Method)在内的两种方法做了重新归纳。我们通过一组关于矩阵逼近的算例比较了近似交替方向法与其在统一框架下对应的推广方法的数值表现。数值比较的结果同样显示了推广方法的的效率,因而也再次证实了统一框架在归纳已有方法与构造新方法方面的作用。　　 在第四章中,我们对求解非线性单调变分不等式的外梯度类方法作了进一步的研究。外梯度类算法只要用到函数值,因此它们在很多黑箱模型中有广泛重要的应用。我们通过不等式放缩此类算法中到解点距离平方的增量函数,可以得到该增量函数的一个紧下界,并且该下界与解点无关。利用第二章中投影的包含方向极限在内的有关性质,我们证明了该下界以及其相关函数的一系列分析性质。再利用这些分析,我们得到了比统一框架所给出的一个更大的步长收敛域,继而提出了新的并在此步长收敛域内的步长计算准则。一系列数值试验被用来比较基于统一框架的一般方法与新步长准则的方法之间的差异。数值结果显示新的步长可以加快的收敛速度,在计算量方面平均不到统一框架下的一般方法的三分之二。