本文主要研究对象为二维光子晶体带隙结构和二维光子晶体波导。光子晶体的基本特性是光子带隙,具有该带隙间频率的电磁波在光子晶体中不能传播。基于这一特性,光子晶体可以用来构造低损耗、宽频带的各型波导。基于电磁场理论,有限元数学理论和有限元算法的求解,利用物理仿真模拟软件,本文设计了简单高效的数值算法研究了二维光子晶体带隙结构优化设计问题和平面光子晶体波导结构的优化设计问题。首先,文中研究了二维光子晶体能带结构,其研究工作涉及模型的构造、有限元离散格式、有限元算法实现、误差分析、以及数值结果的物理特性分析等。基于Maxwell方程组及拟周期边界条件,应用有限元法、迭代算法及COMSOL Multiphysics软件进行数值计算,分析了平面波在光子晶体中的传播情况,绘出了光子晶体的能带图及其带隙图谱,并给出该算法的迭代误差。其次,还优化设计了单模模式下低损耗,宽频带光子晶体波导,并且以波动方程为基础,运用有限元方法,通过COMSOL Multiphysics软件进行数值模拟仿真。该优化方法可以分为两个步骤:第一步:通过对光子晶体结构的优化,得到一个在一定条件下最大禁带的光子晶体,然后去掉一个线缺陷,得到光子晶体波导。第二步:改变转角处某些圆孔的位置位置或形状并改变其大小来增大其传导效率。大量基于上述理论分析和有限元算法的数值实验结果表明,该算法和软件的模拟仿真是收敛和有效的。文章对常见的正方晶格光子晶体及三角晶格光子晶体两种光子晶体类型的能带结构进行有限元建模分析,并给出其迭代误差,迭代误差的分析表明了该计算方法是有效的且收敛的。通过模拟和分析三角晶格光子晶体能带结构,在此基础上应用参数设计的方法进行优化,得到了一个在一定条件下具有最大的全禁带的三角晶格光子晶体。文章还对背景介质中蚀刻圆孔的120°光子晶体波导及60°光子晶体波导两种类型波导算例进行了优化,得到低损耗,宽频带的光子晶体波导。利用有限元方法,计算了关于一个给定频率或者一个给定的频率范围内的优化问题。基于此优化问题,优化了以硅板为背景介质的薄板上蚀刻空气孔的120°和60°三角晶格光子晶体波导,得到了入射电磁波波长在1550nm周围的高透射率,宽频带的光子晶体波导。