【摘 要】
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非线性偏微分方程作为现代数学的一个重要分支,在理论和实际应用中都具有重大意义.由于人们对非线性现象认识存在一定的局限性,高效数值算法便成为研究这些非线性问题的重要方法.本论文的第一部分给出了二维/三维有界区域内非定常不可压缩电磁热耦合模型的三种迭代有限元方法.其中Oseen迭代格式包括求解线性化的定常不可压磁流体（MHD）方程和Oseen方程,并建立了数值格式在每一步迭代时的无条件稳定性和最优误差
【基金项目】
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不可压电磁热耦合方程组无条件稳定解耦数值算法研究,国家自然科学基金（11971152）；
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非线性偏微分方程作为现代数学的一个重要分支,在理论和实际应用中都具有重大意义.由于人们对非线性现象认识存在一定的局限性,高效数值算法便成为研究这些非线性问题的重要方法.本论文的第一部分给出了二维/三维有界区域内非定常不可压缩电磁热耦合模型的三种迭代有限元方法.其中Oseen迭代格式包括求解线性化的定常不可压磁流体（MHD）方程和Oseen方程,并建立了数值格式在每一步迭代时的无条件稳定性和最优误差估计.在强唯一性条件下（一些物理参数的限制条件）,分析了 Newton迭代和Stokes迭代格式数值解的稳定性和收敛性.从三种数值格式的构造、理论分析及计算结果可以看到:Stokes迭代法是最简单的方法,Newton迭代法具有较高的精度,Oseen迭代法无条件稳定,而且具有良好的精度,因此可能是三种迭代格式首选.在论文的第二部分,用标量辅助变量（SAV）方法研究了不可压缩磁流体方程欧拉隐/显格式的稳定性和收敛性.线性项用保持数值精度的隐格式处理,从而保证大时间步长的稳定性,非线性项用显格式逼近,从而将不可压缩磁流体方程组分解为两个常系数线性代数方程和一个一元二次方程.与离散之后的磁流体方程组的系数矩阵相比,计算量减少,并且可以高效地求解这些子问题.首先文中建立了含有四个变量的MHD问题的等价形式,给出了空间离散格式的稳定性和收敛性结果.其次,基于标量辅助函数,构造了求解不可压缩磁流体方程的向后Euler隐显数值算法,建立了数值解uhn和Bhn在不同范数下的无条件能量耗散和稳定性.利用能量法和Gronwall引理,给出了数值解在L2和H1-范数下的最优误差估计.最后,通过一些数值例子来验证所建立的理论结果并展示了所考虑的数值算法的计算效率.
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