即使初始条件十分光滑,双曲守恒律方程的解也可能出现间断.这种光滑性的丧失对数值算法的设计和数值解的模拟提出了挑战.有限差分算法是数值算法中一个十分重要的的热点研究课题,不同的差分方法有着不同的表现形式,从线性到非线性,不相容到相容,不稳定到稳定,不收敛到收敛,有限差分方法和其他数值方法的理论日趋成熟;另一方面,随着数值算法精度的提高,网格生成技术也不断提高,于是,与这两种进步相关的自适应算法就应运而声,这种技术综合考虑了算法的精度要求和时间代价问题,因而应用比较广泛.本论文从介绍双曲守恒律光滑解爆破的相关理论开始,包括弱解,Riemann问题,激波的Lax条件等,依次介绍了有限差分方法的一般概念和相关理论(包括差分格式的相容性,收敛性和稳定性),有限差分方法中的一种典型的中心差分方法-Godunov型中心算法的发展历程(包括古典中心算法和新系列的中心算法),最后一章介绍了自适应的算法,包括算法自适应和网格自适应算法.其中,网格自适应算法是本研究工作的中心内容,重点包括光滑探测器的设计和网格自适应算法的理论分析.所有的自适应算法都要求用一个光滑探测器来检测光滑区域和间断区域,以便对它们进行不同的处理.通过分析已有的一种探测器计算代价高昂的缺点,我们提出了一种新的探测器,称为全变差探测器,该探测器简单直观,计算代价小,数值实验证明该探测器能够比较准确的检测出间断区域.另一个工作的重点是该网格自适应算法的理论分析,网格自适应算法通过加密间断区域的网格更好的模拟间断,但是,网格不能无限细分下去,如何决定网格加密的程度,即什么时候停止加密?另外,由于CFL条件的限制,空间步长的缩小导致时间步长同步缩小,这样就增加了时间层的计算,使得原来相邻时间层的计算加倍,我们的网格自适应算法是否能够保证多次折半后算法的总体误差不会增大?这些都是需要回答的问题.通过理论上的分析,我们给出了停止网格加密的条件,同时给出了网格加密前后的误差比较,分析表明,网格多次折半后算法的总体误差不会比折半前的大.