Guass超几何函数F(a,b;c;x)在几何函数论、拟共形理论、数论等多个数学领域,物理学等其他学科,以及工程技术等方面都发挥着重要的作用。数学物理等相关领域中的许多特殊函数都是超几何函数的特例。超几何函数及其特殊情形一直是研究的热点,并且对这些函数性质的研究有着重大的理论意义与应用价值。例如,在研究拟共形理论和广义Ramanujan模方程时,这些函数的性质是必不可少的。本文主要研究揭示Guass超几何函数及其特殊情形——广义椭圆积分κa(r)、κa’(r)和广义(p,q)-椭圆积分κp,q(r)、εp,q(r)的分析性质,给出它们的一些新性质,包括它们满足的不等式。本文由以下三章构成:第一章,主要介绍本文的研究背景,并引入本文所涉及的一些概念、记号和部分相关的已有结果。第二章,研究零平衡超几何函数F(a,b;a + b;x)与某些初等函数的组合的单调性和凹凸性,把完全椭圆积分的一些已知性质推广到零平衡超几何函数,并据此获得了κa(r)的几个性质,包括精确不等式。第三章,研究广义(p,q)-椭圆积分κp,q(r)、εp,q(r)与一些初等函数组合的分析性质,将完全椭圆积分的一些性质推广到κp,q(r)和εp,q(r)。