依赖参数的矩阵本征值的行为是一个在自然科学和工程科学中都引起人们的广泛兴趣的问题。二能级系统是这个领域最简单也是最重要的例子。关于二能级系统，一个非常有趣的问题是本征值简并的现象，本征值简并的点成为简并点。其中有两种重要且截然不同的情况:在参数空间中的某点上如果本征值简并而且在该点附近的色散关系是线性的但本征态保持独立，这点叫做Dirac point;如果在某点上两个本征值和本征态分别同时合并为一个，这点称为exceptional point。另一方面，随着原子分子和光物理学的发展和冷却技术的进步，冷原子物理领域获得了极大的发展。由于冷原子系统的诸多优点，如干净的实验环境和参数的高可操控性，我们可以通过冷原子模拟固体物理中的材料，如石墨烯，拓扑绝缘体等等，来帮助微电子科学的发展。本论文主要研究内容如下:　　第一章首先介绍了冷原子的基本理论，包括原子的冷却和囚禁，并再分别对冷原子中的玻色子和费米子做了一点简单的介绍。随后，我们介绍了光晶格的概念，光晶格由把冷原子装载到用驻波激光所形成的周期性光学势中而形成。然后介绍了光晶格中最著名的一个模型——Bose-Hubbard模型。在此基础上，我们进一步介绍了具有Dirac point的蜂窝型格点模型。另一方面，我们也介绍了一种经典的动力学现象——Bloch振荡和与之相关的Landau-Zener隧穿。最后介绍了腔量子电动力学，包括电磁场的量子化和描述光场与二能级原子的相互作用的Jaynes-Cummings模型。　　第二章主要讨论了如何利用Landau-Zener隧穿测量Dirac point附近的线性能带。我们首先介绍在Dirac point附近的线性色散关系并进一步介绍Dirac point在光晶格中的理论和实验实现。随后，本章再介绍了Landau-Zener隧穿在光晶格中的实现。在已有实验的基础上，我们结合Bloch振荡和Landau-Zener隧穿，提出了如何利用Landau-Zener隧穿来探测Dirac point附近的线性能带的理论方案并详细讨论了该方案的适用范围和精度。　　第三章主要讨论了如何利用干涉方法来探测拓扑光晶格的陈数。紧接上一章，我们首先指出Dirac point所具有的拓扑相位在现代物理中的重要作用。然后为了研究Dirac point在光晶格中的拓扑性质，介绍了Zak相位和陈数的概念，并用著名的Haldane模型作为例子解释了拓扑光晶格的概念。在此基础上，结合原子干涉仪的概念，我们提出利用非闭合Zak相位来测量Haldane模型中的陈数方案，进一步地，我们证明了该方案在目前实验条件下是容易实现的。　　第四章转向研究另一种简并点——exceptional point，重点讨论了如何在冷原子系统中探测exceptional point在PT对称性下的手征性破缺。首先介绍了非厄密体系中exceptional point的相关概念和具有PT对称性的特殊非厄密体系，该体系具有实数的能谱。然后，介绍了exceptional point在PT对称性体系中的实现。但由于目前理论和实验上的困难，未能对PT对称性体系的exceptional point进行深入的研究。因此，我们在利用四能级厄密哈密顿量来模拟二能级PT对称非厄密哈密顿量的方法的基础上，提出一个在冷原子体系实现以上哈密顿量的具体方案，进一步地，我们讨论了如何实现和探测exceptional point的手征性破缺。