【摘 要】
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本文讨论Markov过程的耦合和概率距离的一些问题和连续时间马氏过程的常返性.Markov过程是研究得相当深入,而且还在蓬勃发展的随机过程.随着现代科学技术的发展,很多应用中出现的Markov过程越来越受到重视,特别是生活中随处可见的随机服务系统,从中可以抽象出很多Markov过程,例如拟生灭过程,随机游动型马尔可夫链等,均受到众多学者的关注.第一章绪论,先介绍了本文研究背景和国内外研究现状,再概
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本文讨论Markov过程的耦合和概率距离的一些问题和连续时间马氏过程的常返性.Markov过程是研究得相当深入,而且还在蓬勃发展的随机过程.随着现代科学技术的发展,很多应用中出现的Markov过程越来越受到重视,特别是生活中随处可见的随机服务系统,从中可以抽象出很多Markov过程,例如拟生灭过程,随机游动型马尔可夫链等,均受到众多学者的关注.第一章绪论,先介绍了本文研究背景和国内外研究现状,再概述本文组织结构和主要结果.第二章给出了本文需要的一些定义及相关知识,主要是马氏链,包括可数状态空间马氏链和一般状态空间马氏链的定义及主要性质.耦合,介绍了几个常用耦合的概念,给出几个耦合的例子,介绍了几种φ最优耦合及其存在性定理.概率距离,介绍了最小概率距离和积分概率距离.本文主要分为两大部分,第一部分包括第三、第四、第五章,用耦合方法研究Markov过程;第二部分即第六章研究一般状态空间连续时间马氏过程的常返性.第三章研究了 一般状态空间非时齐Markov链的收敛性.时齐Markov链的收敛性研究已经比较成熟,但是在马尔可夫链蒙特卡洛方法（MCMC）应用中是不够的.非时齐Markov链没有平稳分布,我们需要找到它的极限分布.因此讨论非时齐Markov链的收敛性很有必要.可数状态空间下非时齐Markov链的收敛性早有Dobrushin-Isaacson-Madsen定理这个著名的结果,但是在模拟退火理论中,可数状态空间下非时齐Markov链的收敛性在实际应用中是不够的.本章首先介绍了经典定理 Dobrushin-Isaacson-Madsen 定理,Dobrushin-Isaacson-Madsen定理研究了有限状态空间非时齐Markov链的收敛性.接着用概率距离和耦合方法研究了一般状态空间上非时齐Markov链的收敛性,得到一个非时齐Markov链收敛的充分条件.它比Dobrushin-Isaacson-Madsen定理使用范围更广,Dobrushin-Isaacson-Madsen定理可以看作是该定理的一个特例,一个推论.再采用f-范数表示,也利用耦合方法研究一般状态空间上非时齐Markov链的收敛性,也得到一个类似于此定理的非时齐Markkov链收敛的充分条件.Dobrushin-Isaacson-Madsen定理也可以看作是此定理的一个推论.第四章由Meyn S.P,Tweedie R L专著Markov Chains and Stochastic Stability第十四章330-331页的定理14.0.1:设P是遍历马氏链,π是P的唯一平稳分布,可测函数f≥ 1,且π（f）<∞,则存在满的吸收集X0（（?）X）使得P限制在X0上是f-遍历的.采用类推的方法,把条件π（f）<∞加强为为π（fp）<∞（存在p>1）,利用耦合方法得到了马氏链f-指数遍历的结论.第五章研究连续时间马氏过程的遍历性,先利用耦合方法,得到连续时间一般状态空间马氏过程的f-遍历判定的一个充分条件.接着还是用耦合方法,得到了连续时间一般状态空间马氏过程f-几何遍历一个结论.第六章研究一般状态空间连续时间马氏过程的常返性,先探讨一致非常返集的一些判定方法,接着讨论Ψ不可约连续时间马氏过程的常返性的一些判定方法,最后得到几个跟细集相关的判定马氏过程的常返性的一些结论.
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