逼近论包括函数逼近和数值逼近。函数逼近主要考虑用简单函数逼近一般函数,数值逼近则是用简单计算近似复杂的计算。关于函数逼近,由于Bernstein算子的良好逼近性质及保形性质,相关算子的研究引起众多学者的兴趣,出现了许多形式的推广。近年来,通过引入q-整数而得到的各种q-算子的研究受到很多学者的青睐,人们研究了各种q-Bernstein型算子的相关性质,不少的研究表明q-Bernstein算子与经典Bernstein算子有很多迥异的性质。Bernstein型算子和q-Bernstein型算子既有联系又有区别,两者各有优点,进一步研究q-Bernstein型算子,比较二者逼近性质的异同具有一定的意义。关于数值逼近,众所周知,积分运算是一个复杂的运算。一方面,在很多情况下被积函数的原函数很难求得,甚至某些函数不存在有限形式的原函数;另一方面,在很多实际问题中往往仅能获取被积函数在一些离散点处的函数值,导致无法通过求出原函数来计算定积分。因此研究定积分的数值计算即数值积分具有重要的理论和实际意义。数值积分中常用的求积公式主要有梯形公式和Simpson公式。本文的主要工作:第一,讨论半实轴上连续函数的q-算子逼近问题。在Stancu-Chlodowsky算子的基础上引入q-整数,得到q-Stancu-Chlodowsky算子,讨论了该算子的逼近性质及收敛速度,并给出了它的Voronovskaya型定理。第二,讨论数值积分的误差估计。首先讨论了具有一定光滑度函数的复化Simpson公式逼近Riemann积分的收敛速度,然后利用r阶Wiener测度,讨论了梯形求积公式关于该测度的平均误差,并得出等距节点处的梯形求积公式在该测度意义下的平均误差在所有形式的节点中是最优的。