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量子纠错码是近年来兴起的用于克服量子信息在存储、传输和计算过程中所发生的量子消相干效应的新型编码技术。量子纠错码在量子计算机的实现、量子安全通信以及容错量子计算等方面有着重要应用。构造码率大、纠错性能好的量子纠错码的是量子信道编码理论研究的核心内容，设计简单、快速、易实现的编译码算法是量子纠错码实用化的先决条件。本研究从量子纠错码构造的基本原理出发，根据量子通信的特殊机制，借鉴经典线性码的编码方案，结合有限交换群的特征标理论和结构理论，给出了GF(2)上量子稳定子码的截短码和扩展码的构造方法，并提出了有限域上非本原BCH码的对偶包含判定准则；借鉴经典线性码的编译码算法，结合量子稳定子体系的数学架构，设计了量子稳定子码的编译码网络，并给出了量子稳定子码的概率译码方案和量子稳定子码最小网格图的快速构建方法；在此基础上，还给出了针对Pauli信道的量子稳定子码是否为简并码的判定条件。具体如下：
(1)构造了二元量子稳定子码的截短码和扩展码。基于初等代数理论，设计了其构造体系；基于校验矩阵与线性码最小距离之间的关系，分析了其纠错性能；基于稳定子体系的相关理论，构建了其编译码网络。构造方法的优点在于构造性证明过程可以得到截短经典码和扩展经典码的生成矩阵和校验矩阵，由此可以构造量子稳定子码的截短码和扩展码的稳定子群校验矩阵，从而可以快速地构建量子稳定子码的截短码和扩展码的编译码网络。
(2)提出了有限域上经典BCH码的对偶包含判定准则。首先给出了循环陪集的若干重要性质，其后根据这些性质得到了判断有限域上非本原BCH码是否包含其对偶码的准则。依据该判断准则进行判断所需时间的复杂度为多项式的，并且该判断准则对本原BCH码也适用。与已有的算法相比，算法复杂度更小，效率更高。
(3)设计了量子稳定子码的编译码网络。编译码网络的构建是量子信道编码理论的重要内容，寻找性能优良的编译码算法是量子纠错码实用化的先决条件。较为全面的讨论了量子稳定子码的编码、差错检测、差错纠正和译码网络的构建方法。对一类特殊的量子稳定子码-CSS码，基于其纠错性能与经典线性码的纠错性能之间的对应关系，参照经典线性码差错检测和纠正电路的构造方法构建了其差错检测和纠正电路。
寻找差错症状与差错算子之间映射关系是量子译码网络的核心内容，也是量子译码网络实现纠错功能的关键。给出了比特翻转差错和相位翻转差错的矩阵表示，定义了比特翻转差错症状矩阵和相位翻转差错症状矩阵，由此将任意Pauli差错算子的差错症状表示为比特翻转差错症状矩阵和相位翻转差错症状矩阵相关列的线性组合。研究还发现，量子稳定子码差错症状矩阵可由校验矩阵所决定，从而任意Pauli算子的差错症状可表示为校验矩阵若干列的线性组合。基于差错算子与差错症状之间的对应关系给出了构造量子差错纠正电路的方法。
(4)给出了量子稳定子码的概率译码算法。受经典线性分组码的概率译码思想的启发，基于上述量子稳定子码的比特翻转差错症状矩阵和相位翻转差错症状矩阵由其稳定子群校验矩阵所决定的结论的基础上，给出了量子稳定子码的概率译码算法。算法通过选择量子权重最小者作为差错算子的方式降低了译码出错概率，通过预先构造量子标准阵列译码表的方式缩短了译码时间。在构造量子标准阵列译码表的过程中，通过对量子简并码和非简并码分别设定所求解方程组的已知数和未知数的方式降低了算法复杂度。与已有的最大似然译码算法相比，本算法复杂性更小，可靠性更高。
(5)给出了量子稳定子码最小网格图的快速构建方法。量子网格图顶点集的大小影响译码算法效率，减少网格图的顶点数可以提高译码算法的效率。基于标准化的稳定子群校验矩阵，给出了构造面向网格图的稳定子群生成元的方法，据此可以构造顶点集最小的量子网格图。此外，通过分析差错算子与稳定子群生成元各个量子位的对易关系对这两算子之间对易关系的影响，给出了一种快速生成量子稳定子码的网格图的方法。现有的构造方法对各项点集分别独立计算，而没有利用已有的计算结果，所以运算量大，这限制了译码的规模和速度。本文给出的方法是基于已有的顶点集的迭代的构造过程，该方法计算复杂性更小、算法效率更高，从而能适应规模更大和对时间要求更高的应用。
(6)给出了基于Pauli信道的量子稳定子码是否为简并码的判定条件。本文给出了针对Pauli信道的量子简并码和非简并码的定义，并基于量子稳定子码的差错症状矩阵与稳定子群校验矩阵之间关系的结论给出了判断量子稳定子码是否为简并码的若干判定条件，还给出了量子稳定子码为非简并码的充要条件，基于稳定子群校验矩阵给出了量子稳定子码最小距离的求解方法，由此证明了在Pauli信道中简并码的纠错性能优于（至少等于）非简并码。
量子纠错码从提出至今不过十几年的时间，却取得了丰富的理论研究成果，各种码的构造技术不断涌现，其理论体系日臻完善。但是，关于编译码算法方面的研究明显滞后。希望本文关于稳定子码编译码网络构建技术的研究能引起更多的相关研究。另外，鉴于量子简并码在某些量子信道（例如Pauli信道）中所表现出的良好的纠错性能以及在量子状态纯化和证明量子通信协议安全性等方面的重要应用，希望本文在量子简并码研究方面的初步探索能起到抛砖引玉之功效。