本文的主要内容是研究第三类超Carton域的Einstein-K（?）hler度量。首先给出了第三类超Carton域的的Einstein-K（?）hler度量的生成函数的隐函数表达式；其次给出了其上Einstein-K（?）hler度量下的全纯截曲率的表达式及估计，得到Einstein-K（?）hler度量与Kobayashi度量的比较定理；最后是第一次在非齐性域上给出了完备的Einstein-K（?）hler度量的显表达式。文献[8]里指出要得到完备Einstein-K（?）hler度量的显表达式是非常困难的。本文采取了比较独特的的方法即我们利用第三类超Cartan域的全纯自同构群及全纯自同构下的不变函数X把Mong-Ampere方程化为常微分方程来达到这一目的。 对于Cm中具有二次连续可微边界的有界拟凸域，Cheng和Yau[1]证明其完备的Einstein-K（?）hler度量一定存在且唯一。N．Mok和S．T．Yau[2]又将这一结果推广到任意有界拟凸域Ω上。设Ω的完备Einstein-K（?）hler度量为则g是Monge-Ampère方程的下列Dirichlet问题的唯一解：这里g称为域Ω的Einstein-K（?）hler度量的生成函数。 第三类超Cartan域定义如下：其中RⅢ（q）表示华罗庚意义下的第三类Cartan域，（?）表示z的共轭，上标T表示矩阵的转置，det表示行列式，q≥2为自然数。超Cartan域是华罗庚域的特殊情形。文献[4][5]给出了YⅢ的Bergman核函数，由此易知域的Bergman核函数是穷竭的，因而域YⅢ为拟凸域，因而可以通过计算生成函数g来得到Einstein-K（?）hler度量。我们利用第三类超Cartan域的全纯自同构群及全纯自同构下的不变函数X，把Mong-Ampere方程化为如下的常微分方程问题：而其隐式解为e·x一（二一二（。））（二一幂号黛y（。）。一二一）二‘·， 、『‘二二l，其中 rY沪（Y）=一孟 JY（0（N+l）yN一‘）YN一韶针艺廷，Y（0）k一‘YN一k而生成函数g可以表示为:g二;耳一尸; JV-I-l，。g{（臀）“一‘Y，‘一（‘一Z了）一‘一‘，{其中Y是X的函数（丫二肠）而且是上述间题的解.我们得到在E油tein一K司日er度量下的第三类超carton域全纯截曲率在点（0，叫处的值为 /些了，t1荃ILC、曰~14 ·rI-一、J，-一、11一。了灭丁“一可犷了F刀干T，!“川‘L、‘，功，，“、‘，，，，，z=0一‘、（毕一dz一2+y;’一aol泛、泛”宁 、、三、.，二尸关tr（dz澎心砚尹）罕（l一群T）IazlZlaw}’臀}dz}2+y，j面}2）2·雕黔架）其中C一舞恶料.当K>;一肖时，全纯截曲率上界为一个负常数，从而我们得到Einstein一K幼ler度量与Kob扭yashi度量的比较定理:比较定理:当K>;一岩时，令场的完备的其KO卜甘”hi度量为R场(二，w;功，则存在正常数Einstein-K油lerc，使得对任意度量为召场（:，。;，），（‘，w）任、乞了，v任eN召场（z，w;v）三cR物（:，w;，）.当尤=苦+六时，场的生成函数。为一呵击det（I一‘）一‘(鄂溯从而我们得到完备的Einstein一K幼ler度量的显表达式.此时的1争刀一般而言是非齐性的，这样我们就首先在非齐性域上得到了完备的Einstein一K汕ler度量的显表达式.