分形集的测度与拓扑性质研究是人们关注的重要课题之一。自相似集作为一类重要的典型分形集,有着相对简单的结构,从而得到广泛的研究。Peres和Solomyak[50]曾提出以下的问题:若R^d中的自相似集E有正的Lebesgue测度,那么它是否包含内点?Schief[53]给出了上述问题的部分解答,他证明在开集条件下,具有正Lebesgue测度的自相似集必然含有内点。随后,Zerner[59]和Peres等人[49]分别将Schief的结果推广到了满足弱分离条件的自相似集和满足开集条件的自共形集上。本文主要研究以下问题:当分形集具有何种结构时,有正Lebesgue测度与包含内点是等价的?在第三章中,基于David和Semmes[11]引入的BPI空间的概念,本文提出BBI空间的概念。粗略地说,对空间中任意两个球B₁和B₂,可以找到B₁中的测度可比的子球以及B₂中的测度可比的子集,该子球和子集是共形双Lipschitz等价的。进而,本文证明了这种由BBI空间描述的“自相似”结构能够保证正Lebesgue测度与内部非空之间的等价性。在第四章中,本文将第三章的结果应用到满足弱分离条件和有界畸变条件的自共形集上,证明了若上述自共形集的Hausdorff维数等于空间维数,则它必包含内点。所得结果推广了Schief,Zerner和Peres的相关结果。在第五章中,基于Schief的结果,本文考虑了一类广义自相似集,得到了下述结果:设{S_i}_i≥1为R^d上的一列相似压缩映射族,E是由它生成的广义自相似集。若存在公共非空开集U?R^d使得S_i关于U均满足开集条件,且S_i的相似维数等于空间维数d,则E=U.同时给出了例子进行讨论。