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本文我们将用流形上的Minimax原理,定量形变原理等方法来研究如下基尔霍夫型方程其中Ω>0,b≥0,N≥ 3,势函数V和非线性项h满足适当条件.如果上述问题存在非平凡解,并且解的L2-范数是给定的正常数,我们称具有此类性质的解为约束态解.当b=0时,上述方程是经典的薛定谔方程.它有广泛的物理背景,震动趋于平衡,热传导趋于稳定以及保守场都可以归结为这样的方程.当b≠0时,作为基尔霍夫型方程,在物理和生物方面有广泛的应用,例如在达朗贝尔波方程中u代表位移,在生物系统中u代表种群密度.本文共分五章.第一章首先介绍基尔霍夫型方程的一些研究背景,国内外的研究现状及本文的主要结论.在第二章中,我们将用流形上的Minimax原理,定量形变原理等方法研究如下带有Hartree非线性项的基尔霍夫型方程其中a>0,b ≥ 0,N ≥ 3,Ω ∈（max{0,N-4},N）和p ∈（（N+α）/N,（N+Ω）/（N-2））.当p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）,上述方程的能量泛函I满足强制性条件,从而I在约束条件Sc:={u ∈X:u|22=c2}上有下界,也就是对于任意的c>0有ic:=infscI>-∞,其中X是Banach空间,定义为H1（RN）或Hr1（RN）.另外,当p ∈（（N+α+4）/N,（N+α）/（N-2））时I在Sc上无下界,即对于所有的c>0有ic=-∞.然而,当p=（N+α+4）/N时对于所有的c>0,我们并不能确定ic>-∞或ic=-∞.因此,称p=（N+α+4）/N是方程的L2-临界指数.此外,p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）和p ∈（（N+α+4）/N,（N+α）/（N-2））分别称为L2-次临界和L2-超临界情形.本章中我们系统的考虑了基尔霍夫型方程约束态解的存在性.首先,在L2-次临界情形下给出限制极小值点尖利的存在性.在此基础上证明能量泛函I在约束条件Sc上存在山路结构,进一步存在约束态解.因此,泛函I在约束条件Sc上存在两个临界点,分别是全局极小值点和山路解.接着,在L2-临界情形下验证约束态解的存在性并且分析了解的集中现象.最后,在L2-超临界情形下利用全局紧性引理和山路值的次可加性证明了约束态解的存在性.首先,我们讨论泛函I的极小值点尖利的存在性.定理2.1.1 假设p ∈（（N+α）/N,（N+α）/（N-2））.（1）如果p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）,那么（ⅰ）存在使得对于任意的c ∈(0,c*],有ic=0和c ∈（c*,∞）,有ic<0;（ⅱ）ic存在极小值点当且仅当（2）如果p=（N+α+4）/N,对于所有的c∈（,0（2-1b）N/[2（α+4-N）]|Qp|2（α+4）/（α+4-N））,ic=0和c∈（（2-1b）N/[2（α+4-N）]|Qp|2（α+4）/（α+4-N）,∞,ic=-∞,并且对于所有的c>0,ic不存在极小值点.（3）如果p∈（（N+α+4）/N,（N+Ω）/（N-2））,那么ic=-∞,则对于所有的c>0,ic不存在极小值点.基于上述定理的结论,ic的极小值点uc是I在约束条件Sc上全局极小值点,再根据拉格朗日乘子法,则存在λc∈R使得（λc,uc）∈ R×Sc是方程（2.1.1）的解,也就是uc∈Sc是方程（2.1.1）的约束态解.定理2.1.2 设p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）.对于任意给定的c>0,如果uc是ic的极小值点,则存在λc<0,使得（λc,uc）∈（-∞,0）×Sc是方程（2.1.1）的解.在第三章中,我们研究带有势函数的基尔霍夫型方程其中势函数V满足（V）V ∈Lloc∞（RN）,infRN V=0和lim|x|→∞V（x）=∞.由于（?）V（x）u2经T作用后变成（?）V（t-1x）u2,所以引理2.2.6中极小值iV（·）的次可加性和IV的山路结构并不成立,所以并不能利用类似的方法获得在L2-次临界情形下iV（c）的极小值点和山路解,其中iV（c）:=infscIV,IV是上述方程的能量泛函,Sc:={u∈HV1（RN）:|u|22=c2}和HV1（RN）:={u∈H1（RN）:（?）V（x）u2<∞}.但是,根据定理2.1.1（ii）的结果,能够证明泛函IV在（V）条件下极小值点的存在性.此外,我们将利用精细的数学分析给出当V≡0时极小值点uc与c的关系式（（3.3.7）式）,进而证明V≠0时极小值点集中性.首先,我们给出iV（c）极小值点的存在性结果.定理3.1.1 设p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N].则有iV（c）存在极小值点.进一步,存在（λc,uc）∈ R ×Sc是方程（3.1.1）的解,并且有IV（uc）=iV（c）.接下来我们考虑当p∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）\{2}和c→∞时,iV（c）极小值点的集中现象.定理3.1.3 设p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）\{2}.对于任意序列{cn}（?）（0,∞）满足当n→∞时cn→∞,并且{un}（?）Scn是iV（cn）的极小值点.则存在{cn}的子序列（仍然记为{cn}）和{zn}（?）RN使得对于任意的q∈[2,2*）,在Lq（RN）中当n →∞时,其中（?）,D1=（Np-N-α）/N,D2=（N+α+4-Np）/[4（Np-N-α）],zn=rcyn/c和Wp是方程（2.1.4）的非平凡解.第四章我们研究如下一类带有非局部项的基尔霍夫型方程（?）其中Ω>0,b≥ 0,N≥ 3,α ∈（N-1,N）和p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）.受到文献[89]中考虑薛定谔-泊松方程全局和局部极小值点集中现象的启发,我们分析带有Hartree非线性项薛定谔-泊松方程极小值点的集中现象,因此首先需要证明极小值点的存在性.由于上述方程缺少相应的Pohozaev恒等式,故只能证明在L2-次临界情形下全局极小值点的存在性.此外,当b=0时,由于非局部项φuu的出现,我们将利用与§2.4和§3.4节中不同的方法分析极小值点的集中现象.接下来给出L2-次临界情形下限制极小值点的存在性.定理4.1.1 设p ∈（（N+α）/N,（N+α+4）/N）.则存在c*>0,使得对于任意的c>c*,J在约束条件Sc上存在极小值点uc.进一步,存在（λc,uc）∈ R × Sc是方程（4.1.1）的解.当b=0时,方程（4.1.1）退化成为薛定谔-泊松方程,类似于定理4.1.1的证明可以得到以下限制极小值点的存在性.定理4.1.2 设b=0和p ∈（（N+α）/N,（N+α+2）/N）.则存在c*>0,使得对于任意的c>c*,J在约束条件Sc上存在极小值点uc.进一步,存在（λc,uc）∈ R × Sc是方程（4.1.1）的解.最后,我们分析方程（4.1.1）限制极小值点的集中现象.定理4.1.4 设b=0和p ∈（（N+α）/N,（N+α+2）/N）\{（N+α+3）/（N+1）}.对于满足下列条件之一的任何序列{cn}（ⅰ）当p ∈（（N+α）/N,（N+α+3）/（N+1））时,limn→∞cn=0;（ⅱ）当p ∈（（N+α+3）/（N+1）,（N+Ω+2）/N）时,limn→∞ cn=∞,则存在{cn}的子列（仍然记为{cn}）和{zn}（?）RN使得极小值点{un}（?）Scn满足#12收敛于Wp在Lq（RN）对于所有的q∈[2,2*）都成立,其中l=1/（N+α+2-Np）,zn=t1yn,和Wp是方程（2.1.4）的非平凡解.在最后一章中,我们将考虑一类带有一般非线性项的基尔霍夫型方程#12其中a>0,b≥ 0,非线性项f∈C（R）满足适当条件.由于非线性项没有具体表达式,则证明极小值点的存在性和全局紧性引理有一定的困难,我们通过寻找局部极小值点来获得约束态解的存在性.定理5.1.2设条件（f1）-（f4）成立.对于任意的c>0,存在（λc,uc）∈（-∞,0）×Sc是方程（5.1.1）的解.