长期以来,共轭类的某些数量性质与有限群的结构之间的关系是有限群论研究的重要课题之一。许多群论学者都参与了这一课题的研究,而且获得了大量的研究成果,这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用。在共轭类的众多的数量性质中,有关共轭类长与共轭类长的个数的研究非常活跃。本文则主要是围绕以下两方面的研究内容进行:Ⅰ.某些元素的共轭类长具有某种特定的数量性质的有限群。Ⅱ.某些元素的共轭类长的个数是定数与整个有限群的结构之间的关系。目前人们对问题Ⅰ的研究主要有两种途径:其一是通过减少元素的共轭类个数;其二是力图研究某些元素的共轭类长是更为一般的数的情形。作为这两种研究途径的继续,在本文中我们尝试着把一些与Ⅰ相关的已有结果作了一定的推广。具体来说,在第三章中,我们对素数幂阶p′-元的共轭类长是无平方因子数,无立方因子数或者p-数的有限群的结构做了一定的描述,其中,p是一个素数;而在第六章中我们则研究了当有限群中所有元素的共轭类长是无立方因子数时群的结构。众所周知,对于Ⅱ的研究,人们首先研究了所有的元素的共轭类长的个数是定数的有限群;后来又研究了p-正则元的共轭类长的个数是定数时所对应的p-补的结构;近来,人们又开始对研究素数幂阶元的共轭类长的个数是定数的有限群产生了极大的兴趣。从这些研究中我们可以发现,如何有效地减少共轭类的个数是人们对Ⅱ这一问题研究的关键所在。我们知道素数幂阶元是群中最基本的元素,而双素数阶元和三素数阶元是仅比素数幂阶元稍微复杂一点的元素。在本文中我们就是利用这三种元素的共轭类长的个数来研究整个群的结构,这是减少共轭类个数的有效手段之一,也是本博士学位论文的核心内容。具体地来讲,第四章主要研究了素数幂阶元、双素数阶元和三素数阶元的共轭类长的个数等于2或4时的群的结构,从而推广了Ito的关于具有两个或四个共轭类长的有限群的相应结果;在第五章中,我们则详细刻画了具有三个特殊共轭类长的有限群的结构,部分地推广了Ito的关于三个共轭类长的有限群的相应结果。从以上有关共轭类长的研究可以看出,很多情形下,我们只需要考虑一些共轭类的某种性质就可以对有限群的结构作出一定的回答,而不需要考虑所有的共轭类,这种局部化的思想在有限群的其他研究领域中也被广泛的应用。在本文的最后一章,作为这种局部化思想的应用,我们尝试着研究了某些子群在某一局部子群中的з-可置换性对有限群结构的影响,给出了一个有限群成为p-幂零群和超可解群的几个充分条件。