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非线性理论由三大理论构成：混沌理论、分形理论、孤立子理论，它们是非线性这门学科的理论基础。基于非线性理论，本文研究了混沌和分形领域中的若干问题，具体研究内容如下： (1) 使用倍增和截去方法建立了任意维的超复数系统，讨论了超复数系统中的加法和乘法运算是闭的前提条件，并给出了超复数系统中高维广义Mandelbrot-Julia集(简称M-J集)的定义及构造算法。利用所构造的高维广义M-J集的2-D和3-D截面，研究了2-D和3-D截面的分形结构特征，并且理论证明了2-D和3-D截面的对称性。 (2) 阐述了高次复多项式映射的M-J集理论，给出了参数空间中高次复多项式的类M集的位置、大小和方向的计算方法。研究了临界点对应的M集和广义M集的分形结构特征。研究结果如下：①理论证明了临界点对应的M集和广义M集的对称性；②类M集有不同类型，它们为复映射f：z←z~n+c(n=2，3，4，…)的广义M集的小拷贝；③类M集的不同类型依赖于对应临界点的重根数；④类M集仅出现在临界点对应的M集中；⑤随周期值的增大，类M集的数量逐渐增大，反映出类M集的分布是分形的。 (3) 研究了基于主动控制的不确定异构系统之间的同步和参数辨识问题。基于Lyapunov稳定性理论，设计了主动控制器和参数更新规则，理论证明了该控制器可使得两个异构的驱动．响应系统——R(?)ssler系统和Chen-Lee系统分别与参数不确定的Genesio系统渐进地达到同步，并且可以辨识出响应系统的未知参数。数值模拟结果进一步证明了该控制器的有效性。