Helmholtz方程具有重要的理论意义和应用价值,它常常用来刻画声学,光学和电磁学等科学领域的波传播和逆散射等物理现象.Helmholtz方程在航空航天,海洋技术和油气勘探等技术领域中有着广泛的应用.建立Helmholtz方程有效的数值模拟方法是若干科学和技术领域中的一项重要研究内容.特别是当波数较大的时候,Helmholtz方程的解具有高度震荡性,数值解的精度通常随着波数k的增加而降低.因此,在计算科学领域,数值求解高波数Helmholtz方程仍然是一项艰巨的任务.本文基于泰勒公式和频散极小化机制构造高阶有限差分法对Helmholtz方程进行高效的数值求解,具体内容如下:第一章为综述部分,主要介绍了Helmholtz方程的应用背景,以及数值求解Helmholtz方程所遇到的问题.在第二章中:提出了求解Helmholtz方程的非紧致优化25点四阶有限差分法.第1节专门针对2D Helmholtz方程,提出三组四阶差分格式用于离散高阶导数项(35)u;在第2节中提出三组四阶差分格式对零阶项k ~2u进行离散,并结合高阶项的离散得到非紧致优化25点四阶有限差分法;在第3节给中给出截断误差分析.在第三章中:对提出的非紧致优化25点四阶有限差分法做频散分析.第1节对非紧致优化25点四阶有限差分法做频散分析,给出频散误差以及频散关系式;第2节通过频散关系式得到权重参数的求值方案;第3节给出归一化相速度曲线图用于说明非紧致优化25点四阶有限差分法在压制数值频散方面的有效性.在第四章中:提出了相应的匹配界面和边界(MIB)方法来处理边界问题.第1节介绍非紧致高阶差分方案的边界处理问题以及已有的工作;第2节回顾了匹配界面和边界(MIB)方法的构造方法;第3节提出了针对非紧致优化25点四阶有限差分法的匹配界面和边界(MIB)方案.在第五章给出了数值算例,并于不同的差分方案进行对比.并给出一些结论和展望.