【摘 要】
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半无限规划是一类经典的优化问题,在许多领域都有着重要的应用.近年来,半无限规划在国际上引起了学者们极大的关注和重视,并取得了迅速的发展,其理论、算法及应用等方面都已经取得了丰富的成果.在本论文中,我们主要研究的是由无限多个SOS凸多项式不等式定义的半无限系统以及在该系统上极小化SOS凸多项式的优化问题,其约束条件的指标集为几类简单的基本半代数集.根据已有工作可知,该类问题可以被转化为锥约束优化问题
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半无限规划是一类经典的优化问题,在许多领域都有着重要的应用.近年来,半无限规划在国际上引起了学者们极大的关注和重视,并取得了迅速的发展,其理论、算法及应用等方面都已经取得了丰富的成果.在本论文中,我们主要研究的是由无限多个SOS凸多项式不等式定义的半无限系统以及在该系统上极小化SOS凸多项式的优化问题,其约束条件的指标集为几类简单的基本半代数集.根据已有工作可知,该类问题可以被转化为锥约束优化问题,转化后的锥优化问题中,利用Putinar正零点定理来刻画的指标集上非负多项式集合的内部近似,可以将该类问题松弛为一系列的半定规划问题.从而通过解决半定规划问题序列来获得最优值的一个收敛的上界序列.此外,还可以利用指示集上非负多项式的表示形式,进一步得出原问题可行域的一种内部近似半定表示.在一些假设下,可以证明这种半定表示能够收敛到可行域.本文的重点工作在于推导得出上述凸半无限多项式规划问题最优值的下界,并且得到其可行域的外部近似半定表示方法.为了推导原问题最优值下界,我们利用测度分析与平方和工具,构造平方和集合的对偶集合作为指标集上非负多项式集合的外部近似.在上述锥优化问题中引入该外部近似,可以将该类问题松弛为一系列的半定规划问题,再通过解决半定规划问题来获得最优值的一个收敛的下界序列.同时,我们将得出可行域的一种外部近似半定表示方法,并且能够证明在某些情况下,这种半定表示能够收敛到可行域.此外,我们还将对约束条件中的指标集为几类简单半代数集时,使用MATLAB编程软件给出数值示例.
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