【摘 要】
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1953年,为了研究社交网络,Harary提出了符号图的概念.其顶点集代表社会网络中的个体的集合,边集表示个体之间的友好或不友好关系,其中友好关系用正边表示,否则用负边.易见,符号图是普通图的一种自然推广,也是一类特殊的赋权图.在随后的几十年,符号图得到了深入地研究并广泛应用于诸多领域,如拓扑图论、拟阵、几何学及群论等.在符号图的研究中,一个自然的研究方向是将普通图的一些经典结果推广或拓展到符号图
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1953年,为了研究社交网络,Harary提出了符号图的概念.其顶点集代表社会网络中的个体的集合,边集表示个体之间的友好或不友好关系,其中友好关系用正边表示,否则用负边.易见,符号图是普通图的一种自然推广,也是一类特殊的赋权图.在随后的几十年,符号图得到了深入地研究并广泛应用于诸多领域,如拓扑图论、拟阵、几何学及群论等.在符号图的研究中,一个自然的研究方向是将普通图的一些经典结果推广或拓展到符号图上,其中图的着色理论及整数（群）流理论是最重要的内容之一.1954年,Tutte观察到一个平面图是4-可着色的等价于其对偶图存在处处非零4-流,由此开创了整数（群）流理论.在此基础上,Tutte提出了图的5-流猜想.1981年Seymour将这一猜想推进到6-流定理.1983年Bouchet将Tutte的5-流猜想拓展到符号图上,即:任何一个由处处非零流的符号图均有处处非零6-流.最近,Cheng等将这一猜想推进到了 11-流.除上述存在性的研究,符号图的着色理论及整数（群）流理论的另一个重要研究内容是着色及流的计数问题.对于普通图来说,Birkhoff的经典结果开创了图的色多项式理论.进而,Tutte的色-流对偶原理奠定了流多项式的理论基础.然而符号图着色及流的计数问题要更复杂.Beck和Zaslavsky证明符号图的着色方法数是一个周期为2的拟多项式.相应地,符号图的整数（群）流数也是一个拟多项式,它依赖于整数的奇偶性或群的具体结构.从拟阵的角度,符号图的群流对偶于它的群着色（可通过流向量及tension向量的正交性来定义）.而从拓扑嵌入图的角度,符号图的群流并不对偶于它的着色.事实上,Goodall等指出符号图的群着色与它的一类特殊tension对应,即:群势差（potential differences）,这是一个需进一步研究的课题.本文主要研究了符号图的流多项式、色多项以及与此相关的势差函数及轨道多项式.全文共分为五章.第一章给出了本论文所涉及的基本概念,术语和有关记号:介绍了符号图及其多项式的研究背景、进展及相关问题;最后介绍本文的主要结果.第二章,我们引入基本圈向量刻画了群流分解的结构特征.在此基础上,给出了符号图流多项式的一个边子集展开式,并运用广义Whitney破圈定理给出了一类群流多项式系数的组合解释.第三章,我们用新方法重新获得了符号图中群流和群势差的个数,并因此回答了 DeVos的问题.另外,我们研究了含边界群流的计数问题.我们通过引入基本键向量刻画了势差分解的结构特征,从而获得了流商群与势差的一一对应.第四章,我们研究了符号图的色多项式,再次运用广义Whitney破圈定理给出了其系数的一个组合解释.第五章,符号图的对称性被考虑,我们证明了非对称意义下符号图双变量染色的方法数是一个多项式,并由此得到了一种用小图双变量色多项式计算该多项式的方法.
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