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摘 要:与 Euler 函数、Smarandache 函数S(n)、Smarandache LCM 函数SL(n)、伪Smarandache函数Z(n)和另一个F.Smarandache可乘函数S(n)、简数根函数sim(n)以及p次幂原数函数SP(n)等有关的函数方程是数论学者近几年热议的研究课题。本文利用初等、解析的相关技巧和方法对几类数论函数方程的可解性问题进行了研究,主要成果如下:1.利用初等方法对Euler函数方程φ(abc)=Aφ(a)+Bφ(b)+Cφ(c)+D)(其中A,B,C ∈N+,A2+B2=C2,D=0,-(AB+C-1))以及φ(φ(n-φ(φ(n))))=k的整数解问题进行了研究,证得在(A,B,C)=(3,4,5),D=0,-16时,第一类Euler函数方程分别有40和17组正整数解;在k=8,10时,第二类Euler函数方程分别有33和2个正整数解。2.熟练掌握相关函数的定义,对包含Smarandache LCM函数的复合数论函数方程φ(φ(n-S(SL(n))))=M1,M2(其中n,M1,M2∈N+)的可解性进行了研究,证得当φ(φ(n-S(SL(n))))=M1且M1=2,4,8,10时,方程分别有8、13、23和2个正整数解;当φ(φ(n-S(n))))=M2且M2取最小正整数(即M2=1)时,方程仅有正整数解n=6,而当M2取最小的两个完全数(即M2=6,28)时,方程仅有的正整数解分别为n=38,57和n=118,177。3.运用同余理论,结合简数根函数特有的简化性,进而对包含伪Smarandache函数和简数根函数的复合数论函数方程z(nt)=sim(φt))乃(其中n,t∈N+)、Z(nx)=sim(φ(nk))(其中n,x,k∈N+)和 Z(n)=sim(φ2(n))+1(其中n∈ N+)的可解性进行研究,证得在t=1,2时,第一类方程仅有正整数解分别为n=1,3,5,7,10和n=1;在k=2,y时,第二类方程均仅有正整数解n=1;第三类方程仅有正整数解为n=3,15,28。4.通过上述研究,结合Excel的数值运算和筛选功能,再次对包含简数根函数和p次幂原数函数的复合数论函数方程Z(n)=SP(sim(n))(其中p=2,3,5),以及多个数论函数复合的函数方程Z(S(n))=S(sim(n))(其中p为素数,n∈N+)的可解性进行了研究,证得第一类方程在p=2时无解,而在p=3,5时方程仅有的正整数解分别为n=24,60和n=11,120;第二类方程存在有限多个正整数解。